Soalan-soalan ini mencampurkan pembezaan dan pengamiran, dan tiada satu pun yang memberitahu anda kaedah mana yang perlu digunakan. Semua soalan ditulis khas untuk laman ini, dan setiap jawapan memberi kerja pengiraan serta semakan.
Kerjakan di atas kertas, dan catat sebarang pilihan kaedah yang salah dalam log kesilapan dan semakan ralat kertas.
Soalan dan jawapan
Soalan 1. Bagi setiap pernyataan, nyatakan sama ada anda akan membezakan atau mengamirkan, tanpa menyelesaikannya.
- (a) Diberi isi padu, cari kelajuan perubahannya.
- (b) Diberi kadar aliran, cari jumlah isi padu.
- (c) Cari kecerunan lengkung pada suatu titik.
- (d) Diberi dy/dx, cari persamaan lengkung.
Jawapan
(a) Bezakan: kadar daripada jumlah. (b) Amirkan: jumlah daripada kadar. (c) Bezakan: kecerunan. (d) Amirkan: fungsi asal daripada kecerunannya.
Soalan 2. Lengkung y = x² + px + 3 mempunyai kecerunan 5 pada x = 2. Cari p.
Jawapan
dy/dx = 2x + p. Pada x = 2: 4 + p = 5, maka p = 1. Semak: dy/dx = 2x + 1 = 5 pada x = 2.
Soalan 3. Lengkung y = ax³ + bx mempunyai titik pegun pada (1, −2). Cari a dan b.
Jawapan
Titik: y = a + b = −2. Pegun: dy/dx = 3ax² + b = 3a + b = 0 pada x = 1.
Tolak persamaan pertama daripada yang kedua: 2a = 2, maka a = 1 dan b = −3.
Semak: y = x³ − 3x memberi y(1) = −2 dan dy/dx = 3 − 3 = 0.
Soalan 4. Suatu lengkung mempunyai dy/dx = 6x − 4 dan melalui (1, 5). Cari persamaannya.
Jawapan
Amirkan: y = 3x² − 4x + c. Gantikan (1, 5): 5 = 3 − 4 + c, maka c = 6.
Lengkung itu ialah y = 3x² − 4x + 6. Semak: pada x = 1, y = 3 − 4 + 6 = 5.
Soalan 5. Keuntungan ialah P = 8x − x² untuk 0 ≤ x ≤ 3. Cari keuntungan terbesar.
Jawapan
P′ = 8 − 2x = 0 memberi x = 4, yang berada di luar selang.
Bandingkan titik hujung: P(0) = 0 dan P(3) = 24 − 9 = 15. Keuntungan terbesar ialah 15 pada x = 3.
Soalan 6. Jumlah cecair ialah V = 80 − 5t + 0.05t² liter selepas t minit, untuk 0 ≤ t ≤ 20. Huraikan bagaimana V berubah pada t = 10.
Jawapan
dV/dt = −5 + 0.1t. Pada t = 10: −5 + 1 = −4.
Isi padu berkurang pada kadar 4 liter seminit pada t = 10.
Soalan 7. Air mengalir masuk ke dalam tangki pada R = 12 − t liter seminit untuk 0 ≤ t ≤ 6. Cari jumlah isi padu yang mengalir masuk.
Jawapan
Amirkan: kamiran (12 − t) dari 0 hingga 6 ialah [12t − t²/2] = 72 − 18 = 54 liter.
Soalan 8. Sebutir zarah mempunyai halaju v = t² − 4t + 3 m/s. Cari (a) masa apabila ia rehat seketika, (b) pecutannya pada t = 0, (c) sesarannya dari t = 0 hingga t = 1.
Jawapan
(a) v = (t − 1)(t − 3) = 0, maka t = 1 dan t = 3.
(b) a = dv/dt = 2t − 4, maka pada t = 0, a = −4 m/s².
(c) Amirkan: [t³/3 − 2t² + 3t] dari 0 hingga 1 = 1/3 − 2 + 3 = 4/3 m.
Jika anda tersalah jawab
- Soalan 1 memerlukan memilih antara terbitan dan kamiran.
- Soalan 2 dan 3 memerlukan menggunakan syarat tangen.
- Soalan 5 memerlukan membandingkan titik hujung dan titik pegun.
- Soalan 6 memerlukan makna terbitan negatif.
Kembali ke hab kalkulus campuran untuk susunan belajar. Jika anda mahu seorang guru memerhatikan cara anda memilih kaedah, lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu lawan satu.