Sesaran s, halaju v dan pecutan a membentuk satu rantai. Bezakan untuk bergerak daripada s ke v ke a, dan kamirkan untuk bergerak ke belakang daripada a ke v ke s.
Pelajaran ini ialah permulaan gerakan linear dalam Matematik Tambahan SPM. Ia bergantung pada pembezaan kuasa t dan pengamiran untuk arah ke belakang.
Apa yang diberitahu oleh setiap kuantiti?
Ketiga-tiga kuantiti menjawab tiga soalan berbeza tentang zarah pada garis lurus, yang diukur dari satu titik tetap O.
| Kuantiti | Maksud | Hubungan |
|---|---|---|
| s (sesaran) | Kedudukan relatif kepada O | s |
| v (halaju) | Kelajuan dan arah | v = ds/dt |
| a (pecutan) | Bagaimana halaju berubah | a = dv/dt |
Arah ke belakang: v = ∫a dt dan s = ∫v dt. Setiap pengamiran menambah satu pemalar yang ditentukan oleh syarat yang diberi.
Contoh penyelesaian: cari v dan a pada masa tertentu
Suatu zarah bergerak pada garis lurus dengan sesaran dari O ialah s = t³ − 6t² + 9t meter selepas t saat. Cari s, v dan a apabila t = 2.
Bezakan sekali. v = ds/dt = 3t² − 12t + 9.
Bezakan sekali lagi. a = dv/dt = 6t − 12.
Gantikan t = 2.
- s = 8 − 24 + 18 = 2 m.
- v = 12 − 24 + 9 = −3 m/s.
- a = 12 − 12 = 0 m/s².
Zarah berada 2 m dari O, bergerak dalam arah negatif pada 3 m/s, dan pada saat ini halajunya tidak berubah.
Kesilapan yang menyebabkan kehilangan markah
Silap yang biasa berlaku ialah membaca a = 0 sebagai “zarah itu pegun”. Kesilapan ini menggoda kerana sifar terdengar seperti kepegunan.
| Bacaan pada t = 2 | Salah | Betul |
|---|---|---|
| a = 0 | Zarah berehat | Halaju tetap seketika |
| v = −3 | Zarah memperlahan | Ia bergerak dalam arah negatif |
| Berehat apabila | a = 0 | v = 0, pada t = 1 dan t = 3 |
Di sini v = 3(t − 1)(t − 3), maka zarah berehat pada t = 1 dan t = 3. Pada t = 2 ia bergerak paling laju dalam arah negatif, iaitu tempat pecutan melalui sifar.
Mengamir ke belakang dengan syarat
Jika a diketahui, kamirkan dua kali dan gunakan syarat untuk menentukan setiap pemalar. Andaikan a = 2t dan zarah bermula dari rehat di O (v = 0 dan s = 0 apabila t = 0).
v = t² + c₁, dan v = 0 pada t = 0 memberi c₁ = 0, maka v = t².
s = t³/3 + c₂, dan s = 0 pada t = 0 memberi c₂ = 0, maka s = t³/3.
Latih hubungan dua arah ini dengan fungsi anda sendiri menggunakan lembaran struktur soalan berayat (Bahasa Inggeris).
Semak kefahaman anda
Suatu zarah mempunyai sesaran s = 2t³ − 9t² + 12t meter. Cari s, v dan a apabila t = 3, dan cari bilakah a = 0.
Jawapan
v = 6t² − 18t + 12 dan a = 12t − 18.
Pada t = 3: s = 54 − 81 + 36 = 9 m, v = 54 − 54 + 12 = 12 m/s dan a = 36 − 18 = 18 m/s².
Bagi a = 0: 12t − 18 = 0, maka t = 1.5 s.
Semakan: pada t = 1.5, v = 13.5 − 27 + 12 = −1.5 m/s, maka zarah tidak berehat walaupun a = 0.
Apa yang perlu dipelajari seterusnya
Langkah berikutnya ialah mengamirkan fungsi halaju. Teruskan dengan mencari sesaran daripada fungsi halaju, kemudian uji bab ini dengan set latihan gerakan linear.
Untuk guru membimbing anda tentang soalan gerakan, lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian secara satu lawan satu. Log kesilapan membantu anda merekodkan hubungan yang tersasar.