Lapan soalan ini ditulis khas untuk laman ini. Ia mengikut susunan bab, daripada v dan a pada suatu masa kepada jarak dengan titik berpatah balik. Cuba setiap soalan dengan langkah kerja penuh sebelum membuka jawapan.
Soalan
Soalan 1. Suatu zarah mempunyai sesaran s = 5t² − t³ meter. Cari halaju dan pecutannya apabila t = 2.
Jawapan
v = 10t − 3t² dan a = 10 − 6t.
Pada t = 2: v = 20 − 12 = 8 m/s dan a = 10 − 12 = −2 m/s².
Halaju positif dan pecutan negatif, maka zarah sedang memperlahan.
Soalan 2. Suatu zarah mempunyai halaju v = 6t − 9 m/s dan s = 0 apabila t = 0. Cari bilakah ia berehat, dan sesarannya dari O pada masa itu.
Jawapan
Berehat: 6t − 9 = 0, maka t = 1.5 s.
s = 3t² − 9t. Pada t = 1.5: 6.75 − 13.5 = −6.75 m.
Zarah berada 6.75 m dari O di sebelah negatif.
Soalan 3. Suatu zarah mempunyai pecutan a = 6t − 4 m/s², dan v = 5 m/s apabila t = 0. Cari halajunya apabila t = 2.
Jawapan
v = 3t² − 4t + c, dan v = 5 apabila t = 0 memberi c = 5.
Maka v = 3t² − 4t + 5. Pada t = 2: 12 − 8 + 5 = 9 m/s.
Soalan 4. Suatu zarah mempunyai halaju v = 3t² − 18t + 24 m/s bagi 0 ≤ t ≤ 5. Cari sesaran dan jarak keseluruhan.
Jawapan
F(t) = t³ − 9t² + 24t. Juga v = 3(t − 2)(t − 4), maka ia berehat pada t = 2 dan t = 4.
F(0) = 0, F(2) = 8 − 36 + 48 = 20, F(4) = 64 − 144 + 96 = 16, F(5) = 125 − 225 + 120 = 20.
Sesaran = 20 − 0 = 20 m.
Jarak = 20 + |16 − 20| + |20 − 16| = 20 + 4 + 4 = 28 m.
Soalan 5. Suatu zarah mempunyai halaju v = (t − 3)² m/s bagi t ≥ 0. Adakah zarah berehat pada t = 3, dan adakah ia menukar arah? Cari sesaran dari t = 0 ke t = 3.
Jawapan
Pada t = 3, v = 0, maka ia berehat seketika.
Tetapi v ≥ 0 di kedua-dua sisi (contohnya v = 1 pada t = 2 dan t = 4), maka tanda tidak berubah. Ia tidak berpatah balik.
Sesaran = ∫ (t² − 6t + 9) dt dari 0 ke 3 = [t³/3 − 3t² + 9t] = 9 − 27 + 27 = 9 m.
Soalan 6. Suatu zarah mempunyai sesaran s = t² − 10t + 16 meter dari O. Cari (a) bilakah ia melalui O, (b) bilakah ia berehat dan sesarannya pada masa itu, dan (c) jarak keseluruhan dalam 7 saat pertama.
Jawapan
(a) s = (t − 2)(t − 8) = 0, maka ia melalui O pada t = 2 s dan t = 8 s.
(b) v = 2t − 10 = 0 pada t = 5 s, tempat s = 25 − 50 + 16 = −9 m.
(c) s(0) = 16, s(5) = −9 dan s(7) = 49 − 70 + 16 = −5. Jarak = |−9 − 16| + |−5 − (−9)| = 25 + 4 = 29 m.
Soalan 7. Suatu zarah mempunyai halaju v = 2t² − 8t m/s bagi t ≥ 0. Cari halaju minimum.
Jawapan
a = dv/dt = 4t − 8 = 0 pada t = 2.
Halaju terkecil di tempat a berubah daripada negatif kepada positif, kerana v ialah parabola yang terbuka ke atas.
v = 8 − 16 = −8 m/s, iaitu nilai minimum.
Soalan 8. Sebuah kereta membrek dengan halaju v = 20 − 5t m/s bagi 0 ≤ t ≤ 4. Cari nyahpecutannya dan jarak yang dilalui sebelum berhenti.
Jawapan
a = dv/dt = −5, maka nyahpecutan ialah 5 m/s².
Kereta berhenti apabila 20 − 5t = 0, maka t = 4 s.
Jarak = ∫ (20 − 5t) dt dari 0 ke 4 = [20t − 2.5t²] = 80 − 40 = 40 m.
Jika anda tersilap
- Soalan 1 hingga 3: baca sesaran, halaju dan pecutan dan sesaran daripada fungsi halaju.
- Soalan 4 dan 6: pelajari jarak keseluruhan dan sesaran.
- Soalan 5 dan 7: kerjakan perubahan arah dan rehat seketika.
- Soalan 8: ulang kaji pengamiran, sesaran dan jarak.
Catat setiap silap dalam log kesilapan dan cuba semula selepas beberapa hari. Pembina sesi latihan bermasa boleh menyediakan satu pusingan bermasa.
Untuk guru memerhati langkah kerja anda, lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian secara satu lawan satu.