Siri geometri dengan |r| < 1 mempunyai jumlah tetap apabila bilangan sebutan bertambah tanpa had. Jumlah itu ialah S∞ = a ÷ (1 − r), dan ia wujud hanya apabila −1 < r < 1.
Pelajaran ini sebahagian daripada janjang. Ia dibina di atas sebutan dan hasil tambah janjang geometri.
Mengapa syarat itu penting?
Apabila |r| < 1, setiap sebutan lebih kecil daripada yang sebelumnya, maka jumlah yang ditambah semakin mengecil dan jumlah keseluruhan menghampiri satu had. Apabila |r| ≥ 1, sebutan tidak mengecil, maka jumlah terus membesar tanpa menjadi stabil.
Rumus S∞ = a ÷ (1 − r) masih memberi nombor jika r = 2, tetapi nombor itu tidak bermakna. Syarat mesti disemak dahulu.
Contoh berlangkah: satu siri menjadi stabil, satu lagi tidak
Berikut perbandingan asal. Siri A ialah 15 + 5 + 5/3 + … dan siri B ialah 15 + 30 + 60 + …
Siri A. r = 5 ÷ 15 = 1/3. Oleh sebab |1/3| < 1, hasil tambah ketakterhinggaan wujud.
S∞ = 15 ÷ (1 − 1/3) = 15 ÷ (2/3) = 15 × 3/2 = 22.5.
Siri B. r = 30 ÷ 15 = 2. Oleh sebab |2| ≥ 1, sebutan membesar dan tiada hasil tambah ketakterhinggaan. Menulis 15 ÷ (1 − 2) = −15 akan salah, kerana siri itu hanya bertambah besar.
Hasil tambah separa siri A, iaitu S₁, S₂, S₃, S₄, ialah 15, 20, 21.67 dan 22.22. Nilai ini menghampiri 22.5.
Mencari r daripada hasil tambah
Kadangkala hasil tambah diberi. Sebuah siri geometri mempunyai a = 12 dan S∞ = 48. Cari r.
- Tulis 12 ÷ (1 − r) = 48.
- Susun semula: 1 − r = 12 ÷ 48 = 1/4.
- Selesaikan: r = 3/4.
- Semak: |3/4| < 1, maka hasil tambah wujud, dan 12 ÷ (1/4) = 48.
Semakan pada langkah 4 mengesahkan bahawa jawapan mematuhi syarat. Jika anda memperoleh r = 2, anda tahu ada sesuatu yang salah.
Soalan julat nilai
Sebuah siri geometri mempunyai sebutan pertama 6 dan sebutan kedua 2x. Cari julat x supaya hasil tambah ketakterhinggaan wujud.
Nisbahnya r = 2x ÷ 6 = x/3.
Syaratnya −1 < x/3 < 1, maka −3 < x < 3.
Uji satu nilai di dalam julat. Bagi x = 1.5, r = 0.5 dan S∞ = 6 ÷ 0.5 = 12. Hasil tambah wujud, seperti yang dijangka.
Kesilapan yang menghilangkan markah
Kesilapan biasa ialah menggunakan a ÷ (1 − r) tanpa menyemak r. Bagi siri B, ini memberi nombor negatif untuk siri sebutan positif yang membesar, dan itu sepatutnya menjadi amaran.
| Langkah | Salah | Betul |
|---|---|---|
| Cari r | (dilangkau) | r = 2 |
| Semak r antara −1 dengan 1 | (dilangkau) | Gagal |
| Kesimpulan | S∞ = −15 | Tiada hasil tambah ketakterhinggaan |
Tulis syarat itu sebagai satu baris dalam kerja anda. Walaupun syaratnya dipenuhi, baris ini tetap memperoleh markah kaedah.
Perpuluhan berulang
Tulis 0.777… sebagai 0.7 + 0.07 + 0.007 + … Sebutan pertama 0.7 dan r = 0.1, maka S∞ = 0.7 ÷ (1 − 0.1) = 0.7 ÷ 0.9 = 7/9.
Semak sendiri
Sebuah siri geometri mempunyai a = 18 dan S∞ = 27. Cari r, dan nyatakan sebutan kedua.
Jawapan
18 ÷ (1 − r) = 27, maka 1 − r = 18 ÷ 27 = 2/3, dan r = 1/3.
|1/3| < 1, maka hasil tambah wujud.
Sebutan kedua ialah ar = 18 × 1/3 = 6.
Semak: 18 ÷ (2/3) = 27.
Apa yang perlu dipelajari seterusnya
Hasil tambah ketakterhinggaan muncul dalam soalan cerita seperti bola melantun atau penurunan peratusan berulang. Teruskan dengan menterjemah corak bayaran atau pertumbuhan kepada janjang, kemudian gunakan set latihan.
Jika anda mahu guru memberi siri yang menjerat anda supaya melangkau semakan, lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu lawan satu.