Fungsi gubahan menggunakan satu fungsi pada output fungsi lain. Dalam fg(x), anda menggunakan g dahulu dan kemudian f, maka fg(x) = f(g(x)).
Pelajaran ini sebahagian daripada fungsi Matematik Tambahan SPM. Jika tatatanda fungsi itu sendiri masih licin, mulakan dengan membaca tatatanda fungsi, domain dan julat.
Fungsi mana yang pergi dahulu dalam fg(x)?
Fungsi yang paling dekat dengan x pergi dahulu. Tulis semula fg(x) sebagai f(g(x)) sebelum berbuat apa-apa, kemudian kerjakan dari dalam ke luar.
Bayangkan memakai pakaian: dalam “kasut(stoking(kaki))”, stoking dipakai dahulu walaupun “kasut” ditulis dahulu.
Contoh berperingkat: pasangan yang sama, dua susunan
Ambil f(x) = 2x + 3 dan g(x) = x².
Mencari fg(x). Tulis semula sebagai f(g(x)). Gantikan setiap x dalam f dengan g(x):
f(g(x)) = 2(x²) + 3 = 2x² + 3
Mencari gf(x). Tulis semula sebagai g(f(x)). Gantikan setiap x dalam g dengan f(x):
g(f(x)) = (2x + 3)² = 4x² + 12x + 9
Kedua-dua jawapan ialah fungsi yang berbeza. Semak dengan satu nombor: apabila x = 2, fg(2) = 2(4) + 3 = 11, tetapi gf(2) = (7)² = 49.
Kesilapan yang menghilangkan markah
Kesilapan lazim ialah mengkuasaduakan dahulu dan menggandakan kemudian bagi gf(x), lalu menulis 2x² + 3 sekali lagi. Kerja itu kelihatan kemas, maka ralatnya sukar dikesan semasa menyemak.
| Langkah | Salah | Betul |
|---|---|---|
| Tulis semula gf(x) | (dilangkau) | g(f(x)) |
| Fungsi dalam | g bertindak dahulu | f bertindak dahulu: 2x + 3 |
| Fungsi luar | f digunakan pada x² | g mengkuasaduakan seluruh output |
| Hasil | 2x² + 3 | 4x² + 12x + 9 |
Cara mengelaknya mudah. Sentiasa tulis bentuk bersarang, kemudian gantikan seluruh ungkapan dalam, dengan kurungan, ke dalam petua luar.
Bagaimana mencari fungsi tidak diketahui daripada gubahan?
Soalan SPM kerap memberi gubahan dan meminta satu bahagiannya. Ada dua kes, dan keduanya memerlukan kaedah berbeza.
Kes 1: nilai tidak diketahui berada di dalam. Diberi f(x) = 2x − 1 dan fg(x) = 6x + 5, cari g(x).
- Tulis f(g(x)) = 2g(x) − 1.
- Samakan dengan gubahan: 2g(x) − 1 = 6x + 5.
- Selesaikan untuk g(x): 2g(x) = 6x + 6, maka g(x) = 3x + 3.
- Semak: f(3x + 3) = 2(3x + 3) − 1 = 6x + 5. Ia sepadan.
Kes 2: nilai tidak diketahui berada di luar. Diberi g(x) = x + 2 dan fg(x) = 3x + 1, cari f(x).
- Tulis f(x + 2) = 3x + 1.
- Biar u = x + 2, maka x = u − 2.
- Gantikan: f(u) = 3(u − 2) + 1 = 3u − 5.
- Namakan semula pemboleh ubah: f(x) = 3x − 5. Semak: f(x + 2) = 3(x + 2) − 5 = 3x + 1.
Kes 2 ialah tempat kebanyakan pelajar tersekat, kerana ia memerlukan langkah penggantian. Jika anda mahu menguji pasangan sendiri, penjelajah fungsi gubahan dan songsang (Bahasa Inggeris) menunjukkan kedua-dua susunan bersebelahan.
Semak kendiri
Diberi f(x) = 3x − 1 dan g(x) = x + 4, cari fg(x), kemudian selesaikan fg(x) = 20.
Jawapan
fg(x) = f(g(x)) = 3(x + 4) − 1 = 3x + 11.
Selesaikan 3x + 11 = 20, maka 3x = 9 dan x = 3.
Semak dengan bekerja dari dalam ke luar: g(3) = 7, kemudian f(7) = 3(7) − 1 = 20.
Apa langkah seterusnya?
Fungsi songsang dibina terus di atas pelajaran ini, kerana f⁻¹f(x) = x ialah suatu gubahan. Teruskan dengan fungsi songsang dengan domain terhad, kemudian uji keseluruhan bab dengan set latihan fungsi.
Jika anda mahu seorang guru menyelesaikan soalan gubahan dan songsang bersama anda, lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu lawan satu.