Indeks pecahan ialah punca dan kuasa yang digabungkan: a^(m/n) bermakna ambil punca ke-n bagi a, kemudian naikkan hasilnya kepada kuasa m. Setelah anda membaca pecahan itu begitu, hukum indeks biasa masih terpakai.
Pelajaran ini sebahagian daripada indeks, surd dan logaritma Matematik Tambahan SPM. Pelajaran berikutnya, memudahkan dan menasionalkan surd, mengenakan idea yang sama pada punca.
Apakah enam hukum indeks?
Simpan enam hukum ini di satu tempat. Setiap satu diuji dengan cara berbeza, jadi latih semuanya sebagai satu set.
| Hukum | Contoh |
|---|---|
| aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ × 2⁴ = 2⁷ |
| aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 5⁶ ÷ 5² = 5⁴ |
| (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | (3²)³ = 3⁶ |
| a^(1/n) = ⁿ√a | 49^(1/2) = 7 |
| a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ | 8^(2/3) = 2² = 4 |
| a^(−n) = 1 ÷ aⁿ | 2^(−3) = 1/8 |
Contoh: nilaikan hasil darab kuasa pecahan
Nilaikan 125^(2/3) × 9^(−1/2).
Faktor pertama. Penyebut 3 ialah punca kuasa tiga dan pengangka 2 ialah kuasa dua. ∛125 = 5, kemudian 5² = 25.
Faktor kedua. Tanda negatif bermakna salingan, dan 1/2 bermakna punca kuasa dua. 9^(−1/2) = 1 ÷ √9 = 1/3.
Darab: 25 × 1/3 = 25/3, atau 8 1/3.
Kesilapan yang menghilangkan markah
Kesilapan yang biasa ialah membaca 16^(3/4) sebagai 16 × 3 ÷ 4 = 12. Ia kelihatan munasabah kerana pecahan terletak dalam kuasa, tetapi kuasa tidak pernah menjadi pengganda.
| Langkah | Salah | Betul |
|---|---|---|
| Baca pecahan | 16 × 3/4 = 12 | Punca 4, kuasa 3 |
| Punca | (dilangkau) | ⁴√16 = 2 |
| Kuasa | (dilangkau) | 2³ = 8 |
| Jawapan | 12 | 8 |
Ujian pantas: 16^(1/4) mesti nombor yang didarab dengan dirinya empat kali untuk memberi 16. Itu ialah 2, bukan 16 ÷ 4.
Menyelesaikan persamaan dengan menyamakan asas
Apabila yang tidak diketahui berada dalam kuasa, tulis kedua-dua belah dengan asas yang sama. Kemudian asas yang sama memaksa kuasa yang sama.
Selesaikan 9^(x−1) = 27^x.
- Tulis 9 = 3² dan 27 = 3³.
- Maka (3²)^(x−1) = (3³)^x, jadi 3^(2x−2) = 3^(3x).
- Asas sama, jadi 2x − 2 = 3x, yang memberi x = −2.
- Semak: 9^(−3) = 1/729 dan 27^(−2) = 1/729.
Kuasa pecahan juga muncul bersama algebra. Ringkaskan (81x⁸)^(3/4): 81^(3/4) = (⁴√81)³ = 3³ = 27, dan (x⁸)^(3/4) = x⁶. Maka jawapannya 27x⁶.
Untuk soalan berayat berbilang langkah, lembaran struktur soalan berayat (Bahasa Inggeris) membantu anda menyusun maklumat sebelum bermula.
Uji diri anda
Ringkaskan 64^(2/3) ÷ 2^(−3), kemudian selesaikan 8^x = 16^(x−1).
Jawapan
64^(2/3) = (∛64)² = 4² = 16. Juga 2^(−3) = 1/8, jadi 16 ÷ (1/8) = 16 × 8 = 128.
Bagi persamaan, tulis 8 = 2³ dan 16 = 2⁴: 2^(3x) = 2^(4(x−1)) = 2^(4x−4).
Maka 3x = 4x − 4 dan x = 4. Semak: 8⁴ = 4 096 dan 16³ = 4 096.
Apakah langkah seterusnya?
Punca nombor yang bukan kuasa sempurna memerlukan alat tersendiri. Teruskan dengan memudahkan dan menasionalkan surd, kemudian cuba set latihan bab.
Mahu seorang guru menyelesaikan soalan indeks bersama kesilapan anda sendiri? Lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu lawan satu. Log kesilapan membantu anda mencatat langkah yang tersilap.