Luas antara lengkung dengan paksi-x ialah kamiran y terhadap x, yang diambil bahagian demi bahagian di tempat lengkung memotong paksi. Bahagian di bawah paksi memberi kamiran negatif, jadi saiz positifnya digunakan sebagai luas.
Pelajaran ini ialah sebahagian daripada bab pengamiran Matematik Tambahan SPM. Ia menggunakan menilai kamiran tentu.
Contoh penyelesaian: lengkung memotong paksi
Cari luas yang dibatasi oleh lengkung y = x² − 4x + 3, paksi-x serta garis x = 0 dan x = 3.
Langkah 1: cari titik potong. y = (x − 1)(x − 3), maka lengkung bertemu paksi-x pada x = 1 dan x = 3. Antara 1 dan 3, lengkung berada di bawah paksi.
Langkah 2: kamirkan setiap bahagian. F(x) = x³/3 − 2x² + 3x.
F(0) = 0, F(1) = 1/3 − 2 + 3 = 4/3 dan F(3) = 9 − 18 + 9 = 0.
- Dari 0 ke 1: F(1) − F(0) = 4/3, di atas paksi.
- Dari 1 ke 3: F(3) − F(1) = −4/3, di bawah paksi, maka luasnya 4/3.
Langkah 3: tambah luas. Jumlah luas = 4/3 + 4/3 = 8/3 unit persegi.
Kesilapan yang menyebabkan kehilangan markah
Silap yang biasa berlaku ialah mengamirkan seluruh sela dalam satu kamiran. Di sini F(3) − F(0) = 0 − 0 = 0. Bahagian positif dan negatif saling membatalkan, jadi nombor 0 kelihatan seperti hasil tetapi bukan luas.
| Langkah | Salah | Betul |
|---|---|---|
| Sela | Satu kamiran, 0 ke 3 | Pecahkan pada x = 1 |
| Nilai | 0 | 4/3 dan −4/3 |
| Luas | 0 | 4/3 + 4/3 = 8/3 |
Apabila lengkung memotong paksi-x di dalam sela, pecahkan kamiran di situ. Satu lakaran ringkas menunjukkannya serta-merta.
Luas dengan paksi-y
Apabila rantau bersandar pada paksi-y, kamirkan x terhadap y. Cari luas yang dibatasi oleh y = x², paksi-y dan garis y = 4.
Tulis semula sebagai x = √y, iaitu y^(1/2). Maka:
Luas = ∫ y^(1/2) dy dari 0 ke 4 = [(2/3) y^(3/2)] dari 0 ke 4 = (2/3)(8) − 0 = 16/3 unit persegi.
Semakan dengan bentuk x: rantau itu ialah segi empat tepat [0, 2] × [0, 4] berluas 8, tolak luas di bawah y = x² dari 0 ke 2, iaitu 8/3. Maka 8 − 8/3 = 16/3.
Kaedah yang boleh digunakan semula
- Lakar lengkung dan tandakan tempat ia bertemu paksi.
- Lorek rantau yang diterangkan oleh soalan.
- Pecahkan pada setiap titik potong paksi di dalam had.
- Kamirkan setiap bahagian dan ambil saiz positifnya.
- Tambah luas dan tulis unit.
Penjelajah pengamiran polinomial dan luas (Bahasa Inggeris) menunjukkan perbezaan antara kamiran bertanda dengan luas sebenar.
Semak kefahaman anda
Cari luas yang dibatasi oleh y = 6x − x² dan paksi-x.
Jawapan
y = x(6 − x), maka lengkung bertemu paksi-x pada x = 0 dan x = 6, dan berada di atas paksi antara keduanya.
Luas = [3x² − x³/3] dari 0 ke 6 = (108 − 72) − 0 = 36 unit persegi.
Semakan: nilai maksimum ialah y = 9 pada x = 3, maka rantau itu terletak dalam segi empat tepat 6 kali 9 berluas 54. Luas 36 tepat dua pertiga daripadanya, dan itu betul bagi sebuah parabola.
Apa yang perlu dipelajari seterusnya
Dua lengkung memerlukan pendekatan atas tolak bawah. Teruskan dengan mencari luas antara dua lengkung, kemudian uji bab ini dengan set latihan pengamiran.
Untuk guru membantu anda melakar dan menyusun rantau, lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian secara satu lawan satu. Lembaran struktur soalan berayat (Bahasa Inggeris) membantu anda dengan soalan yang panjang.