Apabila suatu rantau diputarkan pada paksi, ia menjana pepejal, dan isi padunya diperoleh dengan menjumlahkan cakera nipis. Pada paksi-x, V = π ∫ y² dx, jadi langkah utamanya ialah menguasaduakan y sebelum mengamir.
Pelajaran ini ialah sebahagian daripada bab pengamiran Matematik Tambahan SPM. Ia menggunakan menilai kamiran tentu dan pengembangan kurungan, jadi latih dua perkara itu dahulu.
Contoh: putaran pada paksi-x
Rantau di bawah y = x + 1, antara x = 0 dan x = 2, diputarkan melalui 360° pada paksi-x. Cari isi padu yang dijana.
Setiap cakera berjejari y = x + 1, maka luasnya π(x + 1)².
V = π ∫ (x + 1)² dx dari 0 ke 2 = π ∫ (x² + 2x + 1) dx = π [x³/3 + x² + x] dari 0 ke 2.
Pada x = 2: 8/3 + 4 + 2 = 26/3. Pada x = 0 nilainya 0.
V = 26π/3 unit padu, iaitu kira-kira 27.2.
Sebagai semakan, pepejal ini ialah kon terpancung dengan jejari hujung 1 dan 3 serta tinggi 2. Formula kon (πh/3)(r² + rR + R²) = (2π/3)(1 + 3 + 9) = 26π/3.
Kesilapan yang menyebabkan kehilangan markah
Kesilapan yang biasa ialah mengamir y dahulu dan menguasaduakan kemudian, atau terlupa kuasa dua sepenuhnya. Kedua-duanya terasa lebih pendek, tetapi kedua-duanya salah.
| Langkah | Salah | Betul |
|---|---|---|
| Ungkapan | ∫ (x + 1) dx | ∫ (x + 1)² dx |
| Urutan | (∫ y dx)² | π ∫ y² dx |
| Kembang | (dilangkau) | x² + 2x + 1 |
| Hasil | 16π (kuasa dua kemudian) | 26π/3 |
Bagi urutan yang salah, ∫ (x + 1) dx dari 0 ke 2 ialah 4, dan menguasaduakan memberi 16, kemudian 16π. Isi padu bukan kuasa dua bagi sesuatu luas.
Putaran pada paksi-y
Apabila rantau diputarkan pada paksi-y, gunakan V = π ∫ x² dy dengan had y. Putarkan rantau yang dibatasi oleh y = x², paksi-y dan y = 4 pada paksi-y.
Oleh sebab y = x², kita terus mendapat x² = y. Hadnya dari y = 0 ke y = 4.
V = π ∫ y dy dari 0 ke 4 = π [y²/2] dari 0 ke 4 = π(8) = 8π unit padu.
Jika lengkungnya y = √x, tulis x = y² dahulu, maka x² = y⁴ sebelum mengamir.
Kaedah yang boleh digunakan semula
- Lakar rantau dan tandakan paksi putaran.
- Pilih V = π ∫ y² dx untuk paksi-x, atau V = π ∫ x² dy untuk paksi-y.
- Tulis y² atau x² dalam sebutan pemboleh ubah yang dikamirkan, dan kembangkan kurungan.
- Kamirkan, gantikan had, kemudian darabkan dengan π.
- Nyatakan jawapan dalam sebutan π bersama unit.
Semak kefahaman anda
Rantau di bawah y = √x, antara x = 1 dan x = 4, diputarkan pada paksi-x. Cari isi padu dalam sebutan π.
Jawapan
y² = x, maka V = π ∫ x dx dari 1 ke 4 = π [x²/2] dari 1 ke 4.
Pada x = 4: 8. Pada x = 1: 1/2. Maka V = π(8 − 1/2) = 15π/2 unit padu.
Semakan saiz: jejari bertambah daripada 1 ke 2, dan panjangnya 3. Silinder berjejari 1 berisi padu 3π, dan silinder berjejari 2 berisi padu 12π. Oleh sebab 7.5π terletak antara keduanya, jawapan itu munasabah.
Apakah langkah seterusnya?
Hubungkan pengamiran dengan gerakan dalam menghubungkan pengamiran dengan sesaran dan jarak. Kemudian cuba set latihan pengamiran yang bercampur.
Mahu seorang guru membimbing anda dalam soalan isi padu? Lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu lawan satu. Lembaran struktur soalan berayat (Bahasa Inggeris) membantu anda menyusun langkah kerja.