求旋转体的体积

区域绕坐标轴旋转一圈，会扫出一个立体，体积可以看成一叠薄圆盘。绕 x 轴时，V = π ∫ y² dx，关键的一步是先把 y 平方再积分。

本课属于 SPM 附加数学积分单元。你需要会计算定积分，也要会展开括号。

例题：绕 x 轴旋转

y = x + 1 下方、x 从 0 到 2 的区域，绕 x 轴旋转 360°。求所得立体的体积。

每个圆盘的半径是 y = x + 1，所以面积是 π(x + 1)²。

V = π ∫ (x + 1)² dx，x 从 0 到 2 = π ∫ (x² + 2x + 1) dx = π [x³/3 + x² + x]。

x = 2 时：8/3 + 4 + 2 = 26/3。x = 0 时值是 0。

V = 26π/3 立方单位，约等于 27.2。

检验：这个立体是圆台，两端半径分别是 1 和 3，高是 2。圆台公式 (πh/3)(r² + rR + R²) = (2π/3)(1 + 3 + 9) = 26π/3，与答案一致。

会丢分的写法

常见错误是先积分 y，再把结果平方，或者干脆忘了平方。两种写法都让步骤变短，而且都是错的。

错误的顺序是这样算的：∫ (x + 1) dx，x 从 0 到 2 得 4，平方得 16，再乘以 π 得 16π。体积不是面积的平方。

绕 y 轴旋转怎么做？

绕 y 轴时，用 V = π ∫ x² dy，积分限要写 y 的值。设 y = x²、y 轴和直线 y = 4 围成的区域绕 y 轴旋转。

因为 y = x²，所以 x² = y，可以直接使用。积分限是 y 从 0 到 4。

V = π ∫ y dy，y 从 0 到 4 = π [y²/2] = π(8) = 8π 立方单位。

如果曲线是 y = √x，就要改写成 x = y²，于是 x² = y⁴，再积分。

一套可以重复用的步骤

1. 画出区域，标出旋转轴。
2. 绕 x 轴用 V = π ∫ y² dx，绕 y 轴用 V = π ∫ x² dy。
3. 把 y² 或 x² 写成积分变量的式子，并展开括号。
4. 积分，代入积分限，最后乘以 π。
5. 答案用 π 表示，并写上单位。

自测

y = √x 下方、x 从 1 到 4 的区域绕 x 轴旋转。以 π 表示，求体积。

接下来学什么

下一课把积分连到运动：把积分连到位移与路程。然后做本章练习。

想让老师陪你练习旋转体，请了解一对一附加数学补习。应用题结构工作表 (英文)可以帮你把解题过程写得清楚。