位移是速度对时间的积分，表示位置的净变化。总路程则要在质点转向的地方把积分分段，因为转向会让前面的位移被抵消。
本课属于 SPM 附加数学积分单元。运动方面的内容见直线运动。
例题：位移为零，路程却很长
质点沿直线运动，速度为 v = 6t − 3t² m/s，0 ≤ t ≤ 3。求它的位移和总路程。
第 1 步：位移。 ∫ (6t − 3t²) dt，t 从 0 到 3 = [3t² − t³] = (27 − 27) − 0 = 0 m。
质点回到了出发点，但这不等于它一直没动。
第 2 步：找转向点。 v = 3t(2 − t) = 0，得 t = 0 和 t = 2。所以 0 < t < 2 时速度为正，2 < t ≤ 3 时速度为负。
第 3 步：分段积分。 令 F(t) = 3t² − t³，则 F(0) = 0，F(2) = 12 − 8 = 4，F(3) = 0。
- 0 到 2：F(2) − F(0) = 4，向前运动。
- 2 到 3：F(3) − F(2) = −4，向后运动。
第 4 步：把大小相加。 总路程 = 4 + 4 = 8 m。
会丢分的写法
常见错误是把位移当成路程。这里 0 到 3 的一次积分得 0，步骤很整齐，可是题目问的是路程。
| 步骤 | 错误写法 | 正确写法 |
|---|---|---|
| 区间 | 0 到 3 一次积分 | 在 t = 2 处分段 |
| 数值 | 0 | +4 和 −4 |
| 路程 | 0 m | 4 + 4 = 8 m |
同一个想法在求曲线与坐标轴之间的面积里出现过。路程就是速度图与时间轴之间的面积，所有部分都算成正数。
已知某时刻的位置时怎么办？
题目给出某个时刻的位置时，用它来求常数。若 t = 1 时 s = 2，而 v = 3t² − 4t，则 s = t³ − 2t² + c，代入得 1 − 2 + c = 2，所以 c = 3。
于是任何时刻的位置是 s = t³ − 2t² + 3。两个时刻之间的定积分，则不需要这个常数。
一套可以重复用的步骤
- 先写下题目要的是位移、路程还是位置。
- 解 v = 0，记下在区间内的时刻。
- 对 v 积分，再分段代值。
- 求路程时，每段取正值再相加；求位移时，把带符号的值相加。
- 写上单位，并说明答案是位移、路程还是位置。
自测
质点的速度为 v = 2t − 8 m/s，0 ≤ t ≤ 6。求位移和总路程。
答案
令 F(t) = t² − 8t。v = 0 时 t = 4。
F(0) = 0，F(4) = 16 − 32 = −16，F(6) = 36 − 48 = −12。
位移 = F(6) − F(0) = −12 m。
总路程 = |F(4) − F(0)| + |F(6) − F(4)| = 16 + |−12 − (−16)| = 16 + 4 = 20 m。
接下来学什么
想让老师陪你分析运动题，请了解一对一附加数学补习。错题记录可以帮你追踪反复出现的小错误。想亲自试不同的多项式，也可以用多项式积分与面积探索器 (英文)。