两条曲线之间的面积，等于「上面的曲线减去下面的曲线」再积分，界限是两条曲线相交处的 x 值。步骤是：先求交点，再判断上下，最后积分差。
本课属于 SPM 附加数学积分单元，延续求曲线与坐标轴之间的面积。
例题：一条直线与一条抛物线
求 y = x² 与 y = 2x + 3 所围成的面积。
第 1 步：交点。 令 x² = 2x + 3，得 x² − 2x − 3 = 0，因式分解为 (x − 3)(x + 1) = 0。积分限是 x = −1 和 x = 3。
第 2 步：谁在上面。 试 x = 0。直线给出 y = 3，抛物线给出 y = 0，所以直线在上。
第 3 步：积分上减下。
面积 = ∫ (2x + 3 − x²) dx，x 从 −1 到 3 = [x² + 3x − x³/3]。
x = 3 时：9 + 9 − 9 = 9。x = −1 时：1 − 3 + 1/3 = −5/3。
面积 = 9 − (−5/3) = 9 + 5/3 = 32/3 平方单位。
会丢分的写法
有两种常见错误：相减的顺序写反，或者积分限不是来自交点，而是来自坐标轴。若写成 ∫ (x² − (2x + 3)) dx，x 从 −1 到 3，会得到 −32/3，负数不可能是面积。
另一种是「面积从 0 开始」，于是从 0 积分到 3。
| 步骤 | 错误写法 | 正确写法 |
|---|---|---|
| 积分限 | 0 和 3 | −1 和 3，来自 x² = 2x + 3 |
| 被积函数 | x² − (2x + 3) | (2x + 3) − x² |
| 结果 | −32/3，或不完整的面积 | 32/3 |
积分之前先用一个测试值判断上下，只需要十秒。
曲线在 x 轴下方时呢？
「上减下」照样适用，因为减去一个负数，就等于加上它的大小。只要上、下两条曲线在区间内没有交换位置，就不必在 x 轴处分段。
如果两条曲线在积分限之间相交，上下关系会换过来，就必须在那个交点处分段。
一套可以重复用的步骤
- 画出两条曲线，至少标出交点。
- 联立两个方程，解出积分限。
- 用测试值判断哪条曲线在上。
- 在积分限之间积分「上减下」。
- 检查结果是正数，并写上单位。
你可以在多项式积分与面积探索器 (英文)里看到区域和被积函数的样子。
自测
求 y = x² 与 y = x + 2 所围成的面积。
答案
令 x² = x + 2，得 x² − x − 2 = 0，即 (x − 2)(x + 1) = 0。积分限是 x = −1 和 x = 2。
x = 0 时，直线给出 2，抛物线给出 0，所以直线在上。
面积 = [x²/2 + 2x − x³/3]。x = 2 时：2 + 4 − 8/3 = 10/3。x = −1 时：1/2 − 2 + 1/3 = −7/6。
面积 = 10/3 + 7/6 = 20/6 + 7/6 = 27/6 = 9/2 平方单位。