定积分是积分结果在两个界限之间的变化量。先积分，再代入上限，再代入下限，最后相减。
本课属于 SPM 附加数学积分单元，建立在求不定积分和积分常数之上。
怎样计算一个定积分？
把积分结果写进方括号，标上限，然后相减。记法是 [F(x)] 从 a 到 b，等于 F(b) − F(a)。
计算 ∫ (2x + 3) dx，x 从 1 到 3：
[x² + 3x] = (3² + 3×3) − (1² + 3×1) = (9 + 9) − (1 + 3) = 18 − 4 = 14。
再算 ∫ (3x² − 2x) dx，x 从 0 到 2：[x³ − x²] = (8 − 4) − (0 − 0) = 4。
例题：积分限含有未知数
已知 ∫ 2x dx，x 从 1 到 k，结果等于 15，且 k > 1，求 k。
[x²] 从 1 到 k，得 k² − 1。
所以 k² − 1 = 15，即 k² = 16，k = 4 或 k = −4。
条件 k > 1 把 −4 舍去，所以 k = 4。检验：4² − 1 = 15。
会丢分的写法
常见错误是只代入上限，或者把相减的方向写反。这两种错误算出的数都不对，但草稿看上去很整齐。
以 ∫ (2x + 3) dx，x 从 1 到 3 为例：
| 步骤 | 错误写法 | 正确写法 |
|---|---|---|
| 代入 | 只代上限，得 18 | 上限 18，下限 4 |
| 相减 | 没有相减 | 18 − 4 |
| 方向 | 4 − 18 = −14 | 上限减下限 |
| 答案 | 18 或 −14 | 14 |
有一个简单的习惯可以避免这类错误：上限、下限各写在自己的括号里，最后才相减。
可以用哪些性质省时间？
考试里有两条性质很实用：
- 相邻的区间可以合并：从 a 到 b 的积分加上从 b 到 c 的积分，等于从 a 到 c 的积分。
- 常数倍可以提出来：k f(x) 的积分等于 k 乘以 f(x) 的积分。
若 f(x) 从 1 到 4 的积分是 7，则 (2f(x) + 3) 从 1 到 4 的积分 = 2(7) + 3(4 − 1) = 14 + 9 = 23。常数 3 在长度为 3 的区间上，积分是 3 × 3 = 9。
自测
计算 ∫ (x² + 1) dx，x 从 −1 到 2。再求 k，使 ∫ 3x² dx，x 从 0 到 k，结果等于 27。
答案
[x³/3 + x] 从 −1 到 2 = (8/3 + 2) − (−1/3 − 1)。
第一个括号是 14/3，第二个括号是 −4/3。所以结果是 14/3 + 4/3 = 18/3 = 6。
第二部分：[x³] 从 0 到 k，得 k³ = 27，所以 k = 3。
接下来学什么
下一课把积分变成面积。请继续求曲线与坐标轴之间的面积，那里要特别留意积分结果的正负号。之后用本章练习检验整章。