不定积分，就是求出“导数等于题目所给函数”的那个函数，再加上常数 c。幂法则是：次数加一，再除以新的次数。
本课属于 SPM 附加数学积分单元。开始之前，请先确认你会微分 xⁿ。
幂法则怎样用？
对任何不等于 −1 的 n，∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹ ÷ (n + 1) + c。常数倍留在前面，各项分别积分。
积分 6x² − 4x + 5：
∫(6x² − 4x + 5) dx = 6x³ ÷ 3 − 4x² ÷ 2 + 5x + c = 2x³ − 2x² + 5x + c。
最后一项 5 可以看成 5x⁰，所以积分后是 5x¹ ÷ 1 = 5x。
例题：求出常数 c
曲线的梯度函数为 dy/dx = 3x² − 4x，且经过点 (2, 5)。求曲线方程。
积分得 y = x³ − 2x² + c。
代入 x = 2，y = 5：8 − 8 + c = 5，所以 c = 5。
曲线方程是 y = x³ − 2x² + 5。检验：微分得 3x² − 4x，与题目给的梯度相同。
负指数和括号怎么办？
先改写，再积分。1 ÷ x² 改写成 x⁻²：
∫x⁻² dx = x⁻¹ ÷ (−1) + c = −1/x + c。
遇到乘积要先展开。∫(x + 3)(x − 1) dx = ∫(x² + 2x − 3) dx = x³/3 + x² − 3x + c。
会丢分的写法
常见的错误是凭微分的习惯下笔，把 x³ 写成 3x²，而不是 x⁴ ÷ 4。微分和积分的规则刚好相反，赶时间很容易弄反。
| 积分 | 错误写法 | 正确写法 |
|---|---|---|
| ∫x³ dx | 3x² | x⁴ ÷ 4 + c |
| ∫4x dx | 4 | 2x² + c |
| ∫x⁻² dx | −2x⁻³ | −x⁻¹ + c |
| 常数 | 漏写 | 写上 + c |
有一个快速的自查办法：积分会让次数变大，微分会让次数变小。如果你的次数变小了，说明你做成了微分。
自测
已知 dy/dx = 4x³ − 6x + 1，且 x = 1 时 y = 7，求 y 的表达式。
答案
积分得 y = x⁴ − 3x² + x + c。
代入 x = 1，y = 7：1 − 3 + 1 + c = 7，即 −1 + c = 7，所以 c = 8。
所以 y = x⁴ − 3x² + x + 8。
检验：dy/dx = 4x³ − 6x + 1，而 x = 1 时 y = 1 − 3 + 1 + 8 = 7。
接下来学什么
定积分把积分限放在常数原来的位置。下一课是计算定积分，之后可以用本章练习检验整章。
你也可以在多项式积分与面积探索器 (英文)里试自己的多项式。想让老师逐步看你的解题过程，请了解一对一附加数学补习。