位移是位置的净变化，总路程是走过的整条路径的长度。质点一旦转向，两者就不同，所以求路程要在每个转向点把行程分段。
例题：一段行程，两个答案
质点沿直线运动，速度为 v = t² − 6t + 8 m/s，0 ≤ t ≤ 5。求这 5 秒内的位移和总路程。
第 1 步：积分。 F(t) = t³/3 − 3t² + 8t。
第 2 步：位移。 F(5) = 125/3 − 75 + 40 = 125/3 − 35 = 20/3，F(0) = 0。位移 = 20/3 m。
第 3 步：转向点。 v = (t − 2)(t − 4)，所以 t = 2 和 t = 4 时 v = 0，两个都在区间内。
| 区间 | v 的符号 | 区间末的 F | 变化量 |
|---|---|---|---|
| 0 到 2 | 正 | F(2) = 20/3 | +20/3 |
| 2 到 4 | 负 | F(4) = 16/3 | −4/3 |
| 4 到 5 | 正 | F(5) = 20/3 | +4/3 |
其中 F(2) = 8/3 − 12 + 16 = 20/3，F(4) = 64/3 − 48 + 32 = 16/3。
第 4 步：把大小相加。 路程 = 20/3 + 4/3 + 4/3 = 28/3 = 9⅓ m。
位移是 6⅔ m，而质点走了 9⅓ m。两者之差，正好是它往回走的路程的两倍，即 2 × 4/3。
会丢分的写法
常见错误是把 F(5) − F(0) 当作总路程。正负部分互相抵消了一部分，所以结果比真正走过的路径短。
| 步骤 | 错误写法 | 正确写法 |
|---|---|---|
| 区间 | 0 到 5 一次积分 | 在 t = 2 和 t = 4 分段 |
| 数值 | 20/3 | +20/3、−4/3、+4/3 |
| 总路程 | 20/3 m | 28/3 m |
另一种错误是在错的时刻分段，例如解 a = 0，而不是 v = 0。方向在速度为零处改变，不在加速度为零处改变。
一套可以重复用的步骤
- 对 v 积分，得到 F(t)，即差一个常数的位置。
- 解 v = 0，保留在区间内的根。
- 分别计算起点、每个根和终点的 F。
- 求路程：每一段的差取正值再相加。
- 求位移：把带符号的差相加。
如果想看整段行程，可以画速度图，把时间轴上方和下方的区域涂上阴影。总路程就是阴影面积的总和。
自测
质点的速度为 v = 6 − 2t m/s，0 ≤ t ≤ 5。求位移和总路程。
答案
令 F(t) = 6t − t²。v = 0 时 t = 3，在区间内。
F(0) = 0，F(3) = 18 − 9 = 9，F(5) = 30 − 25 = 5。
位移 = 5 − 0 = 5 m。
总路程 = |9 − 0| + |5 − 9| = 9 + 4 = 13 m。
检验：质点先向前 9 m，再往回 4 m，所以最后在离出发点 5 m 处。