附加数学 · 直线运动学

解读转向与瞬时静止

你解出速度为零就说质点转向，却没检查两侧的符号。

速度为零的那一刻，质点处于瞬时静止。只有当速度的符号在这一刻前后改变，质点才算转向，所以要检查 v 在静止时刻两侧的符号。

本课属于直线运动单元，与区分总路程与位移配合，后者会用到这里找出的转向点。

例题：两个静止点

质点沿直线运动，速度为 v = t² − 6t + 5 m/s，t ≥ 0。描述它的运动。

找静止点。 v = (t − 1)(t − 5) = 0，得 t = 1 和 t = 5。

测试 v 的符号。

两个时刻的符号都改变了，所以质点在 t = 1 和 t = 5 时转向。

用加速度核对。 a = dv/dt = 2t − 6。t = 1 时 a = −4，所以质点接下来朝负方向运动。

t = 5 时 a = 4，所以质点接下来朝正方向运动。两者都与表格吻合。

并不是每个静止点都是转向点。取 v = (t − 2)²，它在 t = 2 时为零。

测试：t = 1 时 v = 1，t = 3 时 v = 1。两侧的符号都是正，所以质点在 t = 2 暂停一下，然后继续朝同一个方向运动。

加速度 a = 2(t − 2)，在 t = 2 时为零。静止点有 a = 0 而且符号没有改变，是暂停，不是转向。

常见错误是只说「v = 0，所以方向改变」，却没有检查两侧。像 v = (t − 1)(t − 5) 这样穿过 t 轴的速度图，这句话成立；像 v = (t − 2)² 这样只碰一下 t 轴的，就不成立。

还有一种相关的错误，是把 a = 0 的时刻当作静止点。在第一个例子里，a = 0 出现在 t = 3，那时 v = −4，质点在稳定地运动，并没有静止。

质点的速度为 v = t² − 4t + 3 m/s，t ≥ 0。求它何时静止，说明每次是否转向，并求 t = 2 时的加速度。

答案

v = (t − 1)(t − 3) = 0，得 t = 1 和 t = 3。

符号：t = 0 时 v = 3（正）；t = 2 时 v = −1（负）；t = 4 时 v = 3（正）。两个时刻的符号都改变，所以质点在 t = 1 和 t = 3 时转向。

a = 2t − 4，所以 t = 2 时 a = 0。此时 v = −1，质点并没有静止。

把运动的知识整合起来，请做直线运动练习，它混合了路程、位移和静止点。

如果 s、v、a 之间的联系还不稳，请先回到位移、速度与加速度的关系。想让老师陪你检验静止点，请了解一对一附加数学补习。

不一定。v = 0 只说明质点瞬时静止。要看速度在该时刻前后的符号是否改变：改变才是转向，符号不变就只是暂停后继续原方向运动。

在静止点两侧各取一个时刻，把它们代入 v，看结果是正还是负。列成一个小表，比心算可靠，也能让批改的人看出你的依据。

v = 0 是质点瞬时静止，a = 0 是速度在那一瞬间不变。两者可以在不同时刻出现，不能互相代替。找转向点要用 v = 0。

用文字写出时刻和方向，例如「质点在 t = 1 时转向，之后朝负方向运动」。只写 t = 1 而不说明转向，会失去一部分分数。

如果你常在「是否转向」这一问上丢分，一对一课堂里老师可以出类似的速度函数，让你练习画符号表并写出完整的文字结论。