速度是时间的函数时，对它积分就得到位置 s，常数由已知的某个位置决定。对速度做定积分，得到的则是两个时刻之间的位移。
本课属于 直线运动单元，建立在位移、速度与加速度的关系之上。
例题：位置与位移
质点沿直线运动，速度为 v = 3t² − 4t m/s。t = 1 时，它相对于 O 的位移是 2 m。求 (a) t = 3 时相对于 O 的位移，(b) t = 1 到 t = 3 之间的位移。
先求 s 的表达式。 s = ∫ (3t² − 4t) dt = t³ − 2t² + c。
代入 t = 1，s = 2：1 − 2 + c = 2，所以 c = 3。于是 s = t³ − 2t² + 3。
(a) t = 3 时的位置。 s = 27 − 18 + 3 = 12 m，在 O 的正方向一侧。
(b) t = 1 到 t = 3 的位移。 直接用定积分，不需要常数：
∫ (3t² − 4t) dt，t 从 1 到 3 = [t³ − 2t²] = (27 − 18) − (1 − 2) = 9 + 1 = 10 m。
两个答案怎样互相印证？
t = 3 时位置是 12 m，t = 1 时位置是 2 m，变化量是 12 − 2 = 10 m，与 (b) 一致。
每次做完都可以这样检验：一个区间的位移，等于末位置减去初位置。
会丢分的写法
常见错误是：问位移，却答了位置；或者问位置，却答了位移。两者的积分相同，所以步骤看上去都没错。
| 题目措辞 | 含义 | 本题答案 |
|---|---|---|
| 「t = 3 时相对于 O 的位移」 | t = 3 时的位置 | 12 m |
| 「t = 1 到 t = 3 之间的位移」 | 位置的变化 | 10 m |
| 「总路程」 | 另一项技能，需要分段 | 两者都不是 |
动笔之前，先把题目里的时间和参照点划出来。「相对于 O」问的是位置，「之间」或「期间」问的是变化量。
什么时候直接用定积分？
如果只需要两个时刻之间的位移，就不必先求 s。写出定积分，积分，再相减。
如果题目没有给出任何能求常数的条件，这就是在提示你用定积分。
自测
质点的速度为 v = 4t − 2 m/s。t = 0 时，它相对于 O 的位移是 5 m。求 t = 3 时相对于 O 的位移，以及 t = 1 到 t = 3 期间的位移。
答案
s = 2t² − 2t + c。代入 t = 0，s = 5，得 c = 5，所以 s = 2t² − 2t + 5。
t = 3 时：s = 18 − 6 + 5 = 17 m，在 O 的正方向一侧。
区间位移：∫ (4t − 2) dt，t 从 1 到 3 = [2t² − 2t] = (18 − 6) − (2 − 2) = 12 m。
检验：s(1) = 2 − 2 + 5 = 5，而 17 − 5 = 12。