Sesuatu kiraan betul hanya jika setiap hasil yang sah dikira tepat sekali. Terlalu banyak laluan ke hasil yang sama memberi kiraan berlebihan, dan kes yang tercicir memberi kiraan terkurang.
Pelajaran ini menamatkan bab pilih atur dan gabungan. Ia membina atas jalan pintas yang diberi amaran dalam mengira pemilihan dengan ahli wajib.
Bagaimana menguji kiraan berlebihan?
Pilih satu hasil dan kira berapa kali kaedah anda menghasilkannya. Jika lebih daripada sekali, kaedah anda salah. Pembetulannya biasanya memecahkan kepada kes berasingan, atau membahagi dengan bilangan ulangan.
Contoh penyelesaian: mengapa 210 salah
Satu pasukan 5 orang dipilih daripada 5 lelaki dan 4 perempuan dengan sekurang-kurangnya 2 perempuan. Jalan pintasnya ialah 4C2 × 7C3 = 6 × 35 = 210. Jawapan yang betul, yang dijumpai melalui kes tadi, ialah 105.
Uji pasukan dengan tepat 3 perempuan, katakan perempuan P1, P2 dan P3 serta lelaki L1 dan L2. Kaedah “pilih 2 perempuan dahulu” boleh bermula dengan P1 dan P2, P1 dan P3, atau P2 dan P3. Itu 3 laluan bagi satu pasukan.
Sekarang kira gandaan bagi setiap jenis pasukan:
| Perempuan dalam pasukan | Pasukan | Kali dikira | Sumbangan |
|---|---|---|---|
| 2 | 60 | 1 | 60 |
| 3 | 40 | 3 | 120 |
| 4 | 5 | 6 | 30 |
Jumlahnya ialah 60 + 120 + 30 = 210, yang menerangkan dengan tepat jawapan yang salah. Jumlah sebenar ialah 60 + 40 + 5 = 105.
Contoh penyelesaian: huruf berulang
Berapakah susunan huruf bagi perkataan BANANA?
Terdapat 6 huruf, tetapi A muncul 3 kali dan N muncul 2 kali. Kiraan 6! = 720 menganggap setiap A berbeza dan setiap N berbeza.
Setiap susunan sebenar dikira 3! × 2! = 6 × 2 = 12 kali. Maka jawapannya ialah 720 ÷ 12 = 60.
Bagaimana menguji kiraan terkurang?
Senaraikan kes yang sah dan tanda setiap satu. Dalam “sekurang-kurangnya 2 perempuan” daripada 4 perempuan, kesnya ialah 2, 3 dan 4 perempuan. Jika kerja anda hanya ada 2 dan 3, satu kes telah tercicir.
Ujian kedua ialah pelengkap. Jika kaedah kes dan kaedah pelengkap sepadan, seperti pada 105, kedua-duanya hampir pasti betul.
Kesilapan yang menghilangkan markah
Pelajar sering berhenti sebaik sahaja satu kaedah menghasilkan nombor yang bersih. Nombor 210 di atas nampak kemas, dan tiada apa dalam kerja itu yang memberi amaran.
Biasakan satu semakan bagi setiap soalan: uji versi kecil, gunakan kaedah kedua, atau tanya berapa cara setiap hasil dihasilkan.
Semak kendiri
Berapakah susunan berbeza bagi huruf perkataan SEVEN?
Jawapan
Terdapat 5 huruf, dengan E muncul dua kali.
5! = 120 mengira setiap susunan dua kali, sekali bagi setiap tertib dua huruf E.
Jawapannya ialah 120 ÷ 2! = 60.
Semak dengan kes kecil: perkataan EE mempunyai 1 susunan, dan 2! ÷ 2! = 1.
Apa yang dipelajari seterusnya?
Uji keempat-empat kemahiran dalam set latihan pilih atur dan gabungan. Catat kesilapan anda dalam log kesilapan.
Jika anda mahu guru menyoal kaedah anda pada masalah sebenar, lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu lawan satu.