附加数学 · 排列与组合

分辨重复计算与漏算

解题过程看起来整齐，答案却比书上的大，或者小。

一个计数结果要正确，每个合格的结果必须恰好被数到一次。同一个结果有太多条路径，就是重复计算；少了某一种情况，就是漏算。

这一课是排列与组合的最后一课，承接有必选成员的选取里提醒过的那个捷径。

怎样检验有没有重复计算？

选一个结果，数一数你的方法把它算了几次。如果多于一次，方法就是错的。补救办法通常是拆成互不重叠的几种情况，或者除以重复的次数。

从 5 名男生和 4 名女生中选 5 人，至少有 2 名女生。捷径是 4C2 × 7C3 = 6 × 35 = 210。前面用分情况求得的正确答案是 105。

拿一支恰好有 3 名女生的队伍来试，女生是 G1、G2、G3，男生是 B1、B2。“先选 2 名女生”可以从 G1 和 G2 开始，也可以从 G1 和 G3，或 G2 和 G3 开始。同一支队伍有 3 条路径。

再逐类数出每一类队伍被数了几次：

队中的女生数	队伍数	被数的次数	贡献
2	60	1	60
3	40	3	120
4	5	6	30

总和是 60 + 120 + 30 = 210，恰好解释了错误的答案。真正的总数是 60 + 40 + 5 = 105。

BANANA 这个单词的字母有多少种不同的排法？

一共有 6 个字母，但 A 出现 3 次，N 出现 2 次。6! = 720 把每个 A 当成不同的，也把每个 N 当成不同的。

每一种真正的排法被数了 3! × 2! = 6 × 2 = 12 次。所以答案是 720 ÷ 12 = 60。

把合格的情况列出来，逐一打勾。在 4 名女生中“至少 2 名”的情况是 2、3、4 名。如果你的解题过程只有 2 和 3，就漏了一种。

第二个检验是补集。如果分情况和补集得到同样的答案，像前面的 105，两个答案都很可能是对的。

很多同学一看到方法算出一个整齐的数字就停下来。上面的 210 看起来很工整，解题过程里也没有任何警示。

养成一个习惯，每一题做一次检查：试一个很小的版本，或用第二种方法，或者问每个结果有几条路径能得到。

SEVEN 这个单词的字母有多少种不同的排法？

答案

一共有 5 个字母，E 出现两次。

5! = 120 把每种排法数了两次，因为两个 E 有两种次序。

答案是 120 ÷ 2! = 60。

用小例子核对：单词 EE 只有 1 种排法，而 2! ÷ 2! = 1。

用排列与组合练习测试这四个技能。把失误记在错题记录里。

如果想让老师在真实的题目上追问你的方法，可以了解附加数学一对一线上补习。

挑一个结果，问你的方法里有多少条不同的路径能得到它。如果答案多于一条，就是重复计算，要重新安排方法，或者做除法。

把符合题意的情况逐一列出，核对每一种是否都出现在你的解题过程里。例如“至少 2 个”的题漏了“恰好 4 个”，就是漏算。

n! 把相同的字母当成不同的。两个相同字母对调，得到的仍是同一种排法，所以要除以每一组重复字母的阶乘。

把题目缩小成一个可以完整列出来的版本试一试，或用第二种方法，例如补集，看两个答案是否一致。

重复计算是一种思考习惯。一对一补习的老师会追问学生“这个结果被数了几次”，直到学生自己会问。