Lapan soalan asli ini mencampurkan kemahiran daripada memilih model kebarangkalian yang betul. Gunakan jadual normal bagi nilai Q(z). Tulis model yang anda pilih sebelum mengira.
Rancang masa anda dengan pembina sesi latihan asli bermasa jika anda mahu bekerja dalam had masa.
Soalan
Soalan 1
Seorang pemeriksa kualiti memeriksa 10 barang daripada talian pengeluaran yang panjang. Setiap barang rosak dengan kebarangkalian 0.03, tidak bersandar pada yang lain. Biar X ialah bilangan barang rosak.
(a) Namakan model dan nyatakan mengapa ia sesuai. (b) Cari P(X = 0) kepada 4 tempat perpuluhan.
Jawapan
(a) X ~ B(10, 0.03). Terdapat bilangan percubaan tetap (10), setiap barang rosak atau tidak, kebarangkalian sama bagi setiap satu, dan barang tidak bersandar.
(b) P(X = 0) = 0.97¹⁰ = 0.7374.
Soalan 2
Sebuah beg mengandungi 8 token, dan 3 daripadanya emas. Tiga token diambil satu demi satu tanpa pengembalian. Terangkan mengapa bilangan token emas bukan binomial, kemudian cari kebarangkalian ketiga-tiganya emas.
Jawapan
Token tidak dikembalikan, maka kebarangkalian emas berubah dari satu pengambilan ke satu yang lain. Syarat kebarangkalian malar gagal, dan pengambilan tidak bersandar.
P(semua emas) = (3/8) × (2/7) × (1/6) = 6/336 = 1/56 ≈ 0.0179.
Soalan 3
X ~ B(5, 0.25). Cari P(X ≥ 1).
Jawapan
Pelengkap bagi X ≥ 1 ialah X = 0.
P(X ≥ 1) = 1 − 0.75⁵ = 1 − 0.2373 = 0.7627.
Soalan 4
Jisim sebiji mangga fiksyen bertaburan normal dengan min 400 g dan sisihan piawai 30 g. Cari kebarangkalian sebiji mangga yang dipilih secara rawak mempunyai jisim melebihi 445 g.
Jawapan
z = (445 − 400) ÷ 30 = 1.5. Kawasan berlorek ialah hujung kanan, maka P = Q(1.5) = 0.0668.
Hujungnya nipis, maka jawapan yang kecil dijangka.
Soalan 5
Setiap percubaan dalam satu permainan dimenangi dengan kebarangkalian 0.3, secara tidak bersandar. Cari bilangan percubaan terkecil n supaya kebarangkalian sekurang-kurangnya satu kemenangan melebihi 0.95.
Jawapan
Tulis 1 − 0.7ⁿ > 0.95, maka 0.7ⁿ < 0.05.
Ambil logaritma dan terbalikkan ketaksamaan: n > log 0.05 ÷ log 0.7 = 8.40.
Semak: 0.7⁸ = 0.0576 tidak kurang daripada 0.05, dan 0.7⁹ = 0.0404 kurang. Maka n = 9.
Soalan 6
Skor dalam satu ujian fiksyen bertaburan normal dengan min 72 dan sisihan piawai 12. Skor 10% teratas berada di atas k. Cari k.
Jawapan
Kawasan berlorek ialah hujung kanan dengan luas 0.10, maka z > 0. Q(z) = 0.10 memberi z = 1.28.
k = 72 + 1.28 × 12 = 72 + 15.36 = 87.36.
Ini menerangkan kedudukan dalam kumpulan fiksyen dan tidak meramal sebarang gred SPM sebenar.
Soalan 7
X ~ N(25, 2²). Satu gambar rajah melorek kawasan antara X = 24 dan X = 27.5. Seorang pelajar menulis jawapan sebagai Q(1.25) − Q(0.5) = −0.2029. Terangkan apa yang salah, kemudian cari kebarangkalian yang betul.
Jawapan
Kebarangkalian tidak boleh negatif, maka penolakan itu salah. Pelajar itu melayan kedua-dua hujung sebagai hujung kanan.
Piawaikan: bagi 24, z = (24 − 25) ÷ 2 = −0.5. Bagi 27.5, z = (27.5 − 25) ÷ 2 = 1.25.
Jalur itu merentasi min, maka jangka kebarangkalian melebihi 0.5.
P = 1 − Q(0.5) − Q(1.25) = 1 − 0.3085 − 0.1056 = 0.5859.
Soalan 8
Di sebuah ladang fiksyen, setiap telur retak dengan kebarangkalian 0.1, secara tidak bersandar. Satu dulang memuatkan 20 biji telur. Biar X ialah bilangan telur retak.
(a) Tulis model. (b) Cari P(X ≥ 2) kepada 4 tempat perpuluhan.
Jawapan
(a) X ~ B(20, 0.1).
(b) P(X ≥ 2) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1).
P(X = 0) = 0.9²⁰ = 0.12158. P(X = 1) = 20 × 0.1 × 0.9¹⁹ = 0.27017.
P(X ≥ 2) = 1 − 0.12158 − 0.27017 = 1 − 0.39175 = 0.6083.
Kesilapan lazim ialah menulis 1 − P(X = 1) dan terlupa sebutan P(X = 0).
Jika anda tersilap
| Soalan | Kemahiran untuk diulang |
|---|---|
| 1 dan 2 | Mengapa peristiwa berulang tidak sentiasa membentuk model binomial |
| 3, 5 dan 8 | Menggunakan pelengkap bagi kebarangkalian sekurang-kurangnya |
| 6 | Mendapatkan skor mentah daripada persentil normal |
| 4 dan 7 | Mendamaikan pengiraan dengan gambar rajah berlorek |
Catat setiap langkah yang salah dalam log kesilapan dan semakan ralat kertas. Jika kesilapan yang sama terus berulang, lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu lawan satu.