Bagi kebarangkalian “sekurang-kurangnya”, tolak pelengkap yang pendek daripada 1 dan jangan menambah senarai panjang. Bagi P(X ≥ 1), pelengkapnya hanyalah P(X = 0).
Pelajaran ini sebahagian daripada memilih model kebarangkalian yang betul. Ia menganggap anda sudah boleh menulis sebutan binomial, seperti dalam mengira kebarangkalian binomial.
Bagaimana pelengkap menjimatkan kerja?
Semua kebarangkalian berjumlah 1, jadi kebarangkalian hasil yang anda mahu ialah 1 tolak kebarangkalian hasil yang tidak dikehendaki. Jika hasil yang tidak dikehendaki sedikit, kira yang itu dan tolak daripada 1.
Bagi X ~ B(n, p), P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − (1 − p)ⁿ. Hanya ada satu hasil “tidak dikehendaki”, iaitu tiada kejayaan.
Contoh penyelesaian: laluan panjang dan laluan pendek
Berikut soalan asli. Sebungkus benih mempunyai 6 biji, dan setiap biji bercambah dengan kebarangkalian 0.2 secara tidak bersandar. Cari kebarangkalian sekurang-kurangnya satu biji bercambah.
Biar X ~ B(6, 0.2).
Laluan panjang. P(X ≥ 1) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6). Itu enam sebutan, setiap satu memerlukan ⁶Cᵣ dan dua kuasa.
Laluan pendek. P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0.8⁶.
0.8⁶ = 0.262144, maka P(X ≥ 1) = 1 − 0.262144 = 0.7379 (4 tempat perpuluhan).
Laluan pendek hanya ada satu kuasa dan satu penolakan. Ia juga lebih mudah disemak, kerana kebarangkalian 0.74 bagi “sekurang-kurangnya satu daripada enam” munasabah.
Jenis kedua: sekurang-kurangnya dua
Pelengkap masih berfungsi apabila sempadan bergerak, tetapi kini dua sebutan dibuang. Biar X ~ B(5, 0.3) dan cari P(X ≥ 2).
P(X ≥ 2) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1)
P(X = 0) = 0.7⁵ = 0.16807
P(X = 1) = 5 × 0.3 × 0.7⁴ = 5 × 0.3 × 0.2401 = 0.36015
P(X ≥ 2) = 1 − 0.16807 − 0.36015 = 1 − 0.52822 = 0.4718
Kesilapan yang menghilangkan markah
Kesilapan lazim ialah menulis 1 − P(X = 1) bagi “sekurang-kurangnya satu”. Ia kelihatan seperti pelengkap, maka ia lulus pembacaan pantas.
| Langkah | Salah | Betul |
|---|---|---|
| Hasil tidak dikehendaki bagi X ≥ 1 | X = 1 | X = 0 |
| Kerja bagi B(6, 0.2) | 1 − 6(0.2)(0.8⁵) | 1 − 0.8⁶ |
| Hasil | 0.6068 | 0.7379 |
Versi salah hanya membuang kes tepat satu kejayaan, maka ia mengekalkan “tiada kejayaan” di dalam jawapan. Tanya apa yang tinggal selepas anda membuang hasil yang dikehendaki, kemudian tulis itu.
Mencari n terkecil
Ada soalan yang bertanya berapa percubaan yang diperlukan. Setiap percubaan menembak sasaran berjaya dengan kebarangkalian 0.2 secara tidak bersandar. Berapakah bilangan percubaan n yang diperlukan supaya P(sekurang-kurangnya satu kejayaan) > 0.9?
- Tulis 1 − 0.8ⁿ > 0.9.
- Susun semula: 0.8ⁿ < 0.1.
- Ambil logaritma: n log 0.8 < log 0.1. Oleh sebab log 0.8 negatif, ketaksamaan terbalik: n > log 0.1 ÷ log 0.8 = 10.32.
- Maka n = 11. Semak: 0.8¹⁰ = 0.1074, yang tidak kurang daripada 0.1, dan 0.8¹¹ = 0.0859, yang kurang.
Semakan dalam langkah 4 penting, kerana membundarkan 10.32 ke bawah akan memberi jawapan salah. Jika logaritma masih menyukarkan anda, pelatih pembetulan langkah algebra (Bahasa Inggeris) boleh membina semula langkah itu.
Semak kendiri
X ~ B(8, 0.1). Cari P(X ≥ 1) kepada 4 tempat perpuluhan.
Jawapan
P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0.9⁸.
0.9⁸ = 0.43046721, maka P(X ≥ 1) = 1 − 0.430467 = 0.5695.
Semakan kewajaran: peluang 10% pada setiap satu daripada 8 percubaan patut memberi sedikit lebih daripada satu peluang dalam dua untuk sekurang-kurangnya satu kejayaan, dan 0.57 sepadan.
Apa yang dipelajari seterusnya?
Pelajaran seterusnya beralih daripada mengira kepada mengukur. Teruskan dengan mendapatkan skor mentah daripada persentil normal, atau uji set ini dengan soalan latihan.
Jika anda mahu guru menyemak setiap baris kerja anda, lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu lawan satu.