遇到“至少”的概率，用 1 减去一个很短的补集，不要把一长串加起来。对 P(X ≥ 1)，补集只有 P(X = 0) 一项。
这一课属于选择合适的概率模型。前提是你已经会写二项的一项，见计算二项概率。
补集去掉了哪些结果？
所有概率加起来是 1，所以你要的结果和不要的结果，共同占有这个总数。不要的那一组如果很小，就数它，再用 1 去减。
对 X ~ B(n, p)，P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − (1 − p)ⁿ。“不要”的结果只有一个，就是没有成功。
例题：长的做法与短的做法
这是一道原创题。一包种子有 6 粒，每粒独立发芽的概率是 0.2。求至少有一粒发芽的概率。
设 X ~ B(6, 0.2)。
长的做法。 P(X ≥ 1) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6)。一共六项，每一项都要算自己的 ⁶Cᵣ 和两个乘方。
短的做法。 P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0.8⁶。
0.8⁶ = 0.262 144，所以 P(X ≥ 1) = 1 − 0.262 144 = 0.7379（4 位小数）。
短的做法只有一个乘方和一次减法，也更容易检查，因为“六粒里至少一粒发芽”的概率是 0.74，感觉合理。
第二种类型：至少两个
边界移动的时候补集依然可用，只是要去掉两项。设 X ~ B(5, 0.3)，求 P(X ≥ 2)。
P(X ≥ 2) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1)
P(X = 0) = 0.7⁵ = 0.168 07
P(X = 1) = 5 × 0.3 × 0.7⁴ = 5 × 0.3 × 0.2401 = 0.360 15
P(X ≥ 2) = 1 − 0.168 07 − 0.360 15 = 1 − 0.528 22 = 0.4718
最容易丢分的地方
常见的失误，是把“至少一个”写成 1 − P(X = 1)。它看起来像补集，所以一眼带过就发现不了。
| 步骤 | 错误 | 正确 |
|---|---|---|
| X ≥ 1 不要的结果 | X = 1 | X = 0 |
| B(6, 0.2) 的过程 | 1 − 6(0.2)(0.8⁵) | 1 − 0.8⁶ |
| 结果 | 0.6068 | 0.7379 |
错误的版本只去掉了恰好一次成功的情况，所以“一次都没成功”仍然留在答案里。先问：把要的结果去掉之后，剩下的是什么，再把它写出来。
求最小的 n
有些题问需要多少次试验。每次尝试成功的概率是 0.2，各次独立。需要多少次尝试 n，才能使至少成功一次的概率大于 0.9？
- 写出 1 − 0.8ⁿ > 0.9。
- 整理：0.8ⁿ < 0.1。
- 取对数：n log 0.8 < log 0.1。因为 log 0.8 是负数，不等号要反转：n > log 0.1 ÷ log 0.8 = 10.32。
- 所以 n = 11。检查：0.8¹⁰ = 0.1074，不小于 0.1，而 0.8¹¹ = 0.0859，小于 0.1。
第 4 步的检查很重要，因为把 10.32 舍去小数部分会得到错误的答案。如果对数还很慢，可以用代数步骤修复训练器 (英文)重建这一步。
自己试试
X ~ B(8, 0.1)。求 P(X ≥ 1)，答案取 4 位小数。
答案
P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0.9⁸。
0.9⁸ = 0.430 467 21，所以 P(X ≥ 1) = 1 − 0.430 467 = 0.5695。
合理性检查：8 次尝试，每次有 10% 的机会，至少成功一次的机会应该比二分之一多一点，而 0.57 符合。
下一步学什么
下一课从数转向量。接着学从正态百分位反推原始分数，或者用练习题测试这一组技能。
如果希望老师逐行检查你“至少”题的过程，可以了解附加数学一对一线上补习。