二项变量 X 有 n 次试验，成功概率是 p，则 P(X = r) = nCr × p^r × q^(n − r)，其中 q = 1 − p。公式把“哪几次试验成功”的选法数，乘上其中一种成功模式的概率。
这一课接在认出二项分布的条件之后，属于概率分布这一章。nCr 的部分来自排列与组合。
怎样设定公式？
先写 X ~ B(n, p)，并写出 n、p 和 q。然后先把数值代入公式写出来，再用计算器。这样能拿到方法分，也能及早发现代错的数值。
例题：选择题测验
一份测验有 6 题，每题 4 个选项，只有一个正确。一位同学每题都乱猜。设 X 为答对的题数，则 X ~ B(6, 0.25)，q = 0.75。
恰好答对 2 题。
P(X = 2) = 6C2 × 0.25² × 0.75⁴ = 15 × 0.0625 × 0.31640625 = 0.2966（4 位小数）。
至少答对 1 题。 用补集：
P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0.75⁶ = 1 − 0.17798 = 0.8220。
至少答对 4 题。 把三种情况相加。
- P(X = 4) = 6C4 × 0.25⁴ × 0.75² = 15 × 0.00390625 × 0.5625 = 0.03296
- P(X = 5) = 6C5 × 0.25⁵ × 0.75 = 6 × 0.0009765625 × 0.75 = 0.00439
- P(X = 6) = 0.25⁶ = 0.00024
总和是 0.03296 + 0.00439 + 0.00024 = 0.0376（4 位小数）。
最容易丢分的地方
最常见的失误是把 p 和 q 互换，或者漏了 nCr。这两种错误得出的答案仍然像个概率，所以很容易被忽略。
| 部分 | 错误 | 正确 |
|---|---|---|
| 选出成功的试验 | 漏了 | 6C2 = 15 |
| 成功的因子 | 0.75² | 0.25² |
| 失败的因子 | 0.25⁴ | 0.75⁴ |
| 结果 | 很小，没检查 | 0.2966 |
快速检查：最可能的答对题数应该靠近 np = 1.5。所以 P(X = 2) 约为 0.30 是合理的，而接近 0.002 就不合理。
自己试试
一家工厂发现 10% 的灯泡有瑕疵。一个盒子里装着独立抽取的 5 个灯泡。求恰好 1 个有瑕疵的概率，以及没有一个有瑕疵的概率。
答案
X ~ B(5, 0.1)，q = 0.9。
P(X = 1) = 5C1 × 0.1 × 0.9⁴ = 5 × 0.1 × 0.6561 = 0.3281（4 位小数）。
P(X = 0) = 0.9⁵ = 0.5905（4 位小数）。
检查：所有情况加起来必须是 1。0.3281 + 0.5905 = 0.9186，剩下 0.0814 是 2 个或以上有瑕疵的概率，这是合理的。
下一步学什么
接着学求二项变量的均值与方差，用两个数字概括整个分布。应用题结构工作表 (英文)可以帮你在长题目里找出 n、p 和所求的事件。
如果设定二项题是你最难的一步，可以了解附加数学一对一线上补习。