标准化就是先减去平均值，再除以标准差：Z = (X − μ) ÷ σ。得到的 z 分数告诉你，这个值比平均值高或低多少个标准差。
这一课属于概率分布。算出 z 分数之后，下一步是读取正态分布的尾部概率。
z 分数代表什么？
z = 2 表示这个值比平均值高 2 个标准差。z = −1 表示比平均值低 1 个标准差。
不管原来的平均值和标准差是多少，标准化之后都变成同一个标准正态分布。所以你只需要一张表。
例题：同一个分布，两种做法
这是一道原创例题。某批包裹的质量 X（单位 kg）服从 X ~ N(50, 16)。求质量 58 kg 的包裹的 z 分数。
第一步，读懂记号。 N(50, 16) 表示 μ = 50，σ² = 16。所以标准差 σ = √16 = 4。
第二步，代入公式。 z = (58 − 50) ÷ 4 = 8 ÷ 4 = 2。这个包裹比平均值高 2 个标准差。
错误的做法是直接除以 16，得到 z = 8 ÷ 16 = 0.5。步骤看起来很整齐，但 z 分数只有正确值的四分之一，查表得到的概率也会跟着错。
| 步骤 | 错误做法 | 正确做法 |
|---|---|---|
| σ 的取值 | 16（方差） | 4（√16） |
| 计算 | 8 ÷ 16 | 8 ÷ 4 |
| z 分数 | 0.5 | 2 |
低于平均值的情况怎么处理？
还是同一批包裹。求质量 45 kg 的 z 分数：z = (45 − 50) ÷ 4 = −5 ÷ 4 = −1.25。
负号要保留。下一课画阴影时，你要靠它决定取左尾还是右尾。
已知 z 分数，怎样求回 X？
把公式变形，得到 X = μ + zσ。求 z = 0.75 的包裹质量：X = 50 + 0.75 × 4 = 53 kg。
再标准化一次核对：(53 − 50) ÷ 4 = 0.75。符号写错的话，这一步马上就会露出来。
怎样避免取错 σ？
读题时先看它怎样给出离散程度，再决定取哪个数。
- 题目写“标准差 4”：σ = 4。
- 题目写 N(50, 16)：16 是方差，σ = 4。
- 题目写 N(50, 4²)：平方已经写出来，σ = 4。
自我检测
X ~ N(30, 25)。(a) 求 X = 22.5 的 z 分数。(b) 求 z = 0.8 时的 X 值。
答案
方差是 25，所以 σ = 5。
(a) z = (22.5 − 30) ÷ 5 = −7.5 ÷ 5 = −1.5。
(b) X = 30 + 0.8 × 5 = 30 + 4 = 34。
核对 (b)：(34 − 30) ÷ 5 = 0.8。
接下来学什么？
z 分数熟了，就可以去读正态分布的尾部概率。之后的求正态分布的未知参数，是把这条公式反过来用。
想让老师看着你标准化新数字，可以了解线上一对一附加数学补习。