分布表给的是 Q(z)，也就是正 z 右边的面积。其余所有的概率都由它推出：右尾是 Q(z)，左尾按正负号是 1 − Q(z) 或 Q(a)。
这一课属于概率分布，前提是你已经会把正态随机变量标准化。
怎样把每个尾部对应到表达式？
画一条钟形曲线，标出均值，再把题目要求的区域涂色。然后对照下面的表。
| 涂色的区域 | 条件 | 表达式 |
|---|---|---|
| 正 z 的右边 | P(Z > z) | Q(z) |
| 负 z 的左边 | P(Z < −a) | Q(a) |
| 正 z 的左边 | P(Z < z) | 1 − Q(z) |
| 负 z 的右边 | P(Z > −a) | 1 − Q(a) |
| 两个值之间 | P(a < Z < b) | 用 1 减去两个尾部，或用概率相减 |
关键的习惯是看图来决定，而不是只看正负号。正负号告诉你在均值的哪一边，涂色告诉你是哪一个尾部。
例题：一个分布，三个概率
这是一组原创的题目。某种虚构芒果的质量 X（单位克）服从正态分布 X ~ N(400, 30²)。求三个概率。
(a) P(X > 445)。 区域是右尾。z = (445 − 400) ÷ 30 = 1.5。所以 P = Q(1.5) = 0.0668。
(b) P(X < 370)。 区域是左尾。z = (370 − 400) ÷ 30 = −1。负 z 的左边，所以 P = Q(1) = 0.1587。
(c) P(370 < X < 445)。 这是中间的一段。从整条曲线里减去两个尾部。
P = 1 − 0.1587 − 0.0668 = 0.7745。
大小检查：这一段从均值下方 1 个标准差，延伸到均值上方 1.5 个标准差，涂色的面积占曲线的大部分，0.77 合理。
最容易丢分的地方
常见的失误，是在负 z 的地方查正数的表值，然后把它当成上尾，再用 1 去减。(b) 这样做会得到 1 − 0.1587 = 0.8413，它其实是 370 右边的区域。
| 步骤 | 错误 | 正确 |
|---|---|---|
| 画图 | （跳过） | 涂 370 左边 |
| z | −1 | −1 |
| 表达式 | 1 − Q(1) | Q(1) |
| P(X < 370) | 0.8413 | 0.1587 |
| 大小检查 | 细细的左尾不可能有 84% | 0.16，很小，符合预期 |
大小检查很快：370 在均值下方 1 个标准差，它以下的面积应该很小，而不是很大。
再看一例：均值之上的一端
还是同样的芒果。求 P(X < 430)。
z = (430 − 400) ÷ 30 = 1。区域是正 z 左边的一切，所以 P = 1 − Q(1) = 1 − 0.1587 = 0.8413。
这里答案很大，因为涂色的区域包含了曲线的整个左半边。
自己试试
X ~ N(20, 2²)。求 P(X < 17) 和 P(X > 17)。
答案
z = (17 − 20) ÷ 2 = −1.5。
P(X < 17) 是负 z 以下的左尾，等于 Q(1.5) = 0.0668。
P(X > 17) 是曲线的其余部分，等于 1 − 0.0668 = 0.9332。
两个答案相加必须是 1，而它们确实是。
下一步学什么
下一步是用尾部概率去求未知的数值。接着学求正态分布的未知参数，或者用让概率计算与涂色图吻合加强图形检查。
如果希望老师看着你在新题目上画图涂色，可以了解附加数学一对一线上补习。