Lapan soalan asal ini mengikut urutan pelajaran dalam fungsi kuadratik. Semak setiap jawapan dengan menggantikannya semula, seperti yang dilakukan dalam jawapan berpenjelasan. Gunakan pembina sesi latihan asal bermasa jika anda mahu bekerja dalam had masa.
Soalan
Soalan 1
Punca bagi 3x² − 10x + 3 = 0 ialah α dan β. Cari α + β dan αβ.
Jawapan
a = 3, b = −10, c = 3.
α + β = −b/a = 10/3, dan αβ = c/a = 3/3 = 1.
Semak: 3x² − 10x + 3 = (3x − 1)(x − 3), maka puncanya ialah 1/3 dan 3. Hasil tambah = 10/3, hasil darab = 1.
Soalan 2
Satu punca bagi x² − 10x + k = 0 ialah empat kali punca yang satu lagi. Cari k.
Jawapan
Biar puncanya α dan 4α. Hasil tambah ialah 5α = 10, maka α = 2. Puncanya ialah 2 dan 8.
k = 2 × 8 = 16.
Semak: x² − 10x + 16 = (x − 2)(x − 8).
Soalan 3
Punca bagi x² − 6x + 4 = 0 ialah α dan β. Bentukkan persamaan kuadratik yang puncanya ialah 1/α dan 1/β.
Jawapan
α + β = 6 dan αβ = 4.
Hasil tambah baharu: 1/α + 1/β = (α + β) ÷ αβ = 6/4 = 3/2. Hasil darab baharu: (1/α)(1/β) = 1/αβ = 1/4.
Persamaan: x² − (3/2)x + 1/4 = 0, maka 4x² − 6x + 1 = 0.
Soalan 4
Persamaan x² + (k + 2)x + 9 = 0 mempunyai punca sama. Cari nilai k yang mungkin.
Jawapan
Punca sama bermaksud b² − 4ac = 0, maka (k + 2)² − 36 = 0.
Maka (k + 2)² = 36, jadi k + 2 = 6 atau k + 2 = −6.
k = 4 atau k = −8.
Semak k = 4: x² + 6x + 9 = (x + 3)². Semak k = −8: x² − 6x + 9 = (x − 3)².
Soalan 5
Tulis f(x) = 2x² − 8x + 5 dalam bentuk a(x + p)² + q. Nyatakan nilai minimum dan di mana ia berlaku.
Jawapan
f(x) = 2(x² − 4x) + 5 = 2[(x − 2)² − 4] + 5 = 2(x − 2)² − 8 + 5 = 2(x − 2)² − 3.
Nilai minimum ialah −3, pada x = 2.
Semak: f(2) = 8 − 16 + 5 = −3.
Soalan 6
Cari nilai maksimum bagi g(x) = −3x² + 12x − 5 dan nilai x di mana ia berlaku.
Jawapan
g(x) = −3(x² − 4x) − 5 = −3[(x − 2)² − 4] − 5 = −3(x − 2)² + 12 − 5 = −3(x − 2)² + 7.
Oleh sebab a negatif, graf terbuka ke bawah. Nilai maksimum ialah 7, pada x = 2.
Semak: g(2) = −12 + 24 − 5 = 7.
Soalan 7
Selesaikan 3x² + 5x − 2 ≤ 0.
Jawapan
Faktorkan: (3x − 1)(x + 2) ≤ 0. Puncanya ialah x = 1/3 dan x = −2.
Graf terbuka ke atas, dan ≤ 0 bermaksud pada atau di bawah paksi, iaitu di antara punca, termasuk punca itu.
−2 ≤ x ≤ 1/3.
Semak x = 0: −2, yang ≤ 0, maka bahagian tengah betul. Semak x = 1: 3 + 5 − 2 = 6, yang bukan ≤ 0, maka di luar selang.
Soalan 8
Garis lurus y = 6x − k ialah tangen kepada lengkung y = x² + 2x + 5. Cari k dan koordinat titik di mana garis menyentuh lengkung.
Jawapan
Samakan: x² + 2x + 5 = 6x − k, maka x² − 4x + (5 + k) = 0.
Tangen bermaksud b² − 4ac = 0: (−4)² − 4(1)(5 + k) = 0, maka 16 − 20 − 4k = 0 dan k = −1.
Maka x² − 4x + 4 = 0 memberi x = 2. Lengkung memberi y = 4 + 4 + 5 = 13, maka titiknya ialah (2, 13).
Semak: garis ialah y = 6x + 1, dan pada x = 2 ia memberi y = 13.
Jika anda tersilap
| Soalan | Kemahiran untuk diulang kaji |
|---|---|
| 1, 2 dan 3 | Hubungan punca dengan pekali |
| 4 dan 8 | Menggunakan diskriminan untuk mengelaskan punca |
| 5 dan 6 | Melengkapkan kuasa dua untuk titik pusingan |
| 7 | Menyelesaikan ketaksamaan kuadratik menggunakan selang |
Catat setiap kesilapan dalam log kesilapan dan semakan ralat kertas. Jika jenis kesilapan yang sama terus berulang, lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu lawan satu.