这八道题对应二次函数一章的四课，难度逐题提高。每题的答案都用代回原式来核对，你也可以这样做。
题目
1. 2x² − 9x + 4 = 0 的两根是 α 和 β。求 α + β 和 αβ。
答案
a = 2，b = −9，c = 4。
α + β = −b/a = 9/2，αβ = c/a = 4/2 = 2。
核对：2x² − 9x + 4 = (2x − 1)(x − 4)，根是 1/2 和 4。和是 9/2，积是 2。
2. x² − 10x + k = 0 的一个根是另一个根的 4 倍。求 k。
答案
设两根为 α 和 4α。和：5α = 10，α = 2。两根是 2 和 8。
k = 2 × 8 = 16。
核对：x² − 10x + 16 = (x − 2)(x − 8)。
3. x² − 6x + 4 = 0 的两根是 α 和 β。求以 1/α 和 1/β 为根的方程。
答案
α + β = 6，αβ = 4。
新的和：1/α + 1/β = (α + β) ÷ αβ = 6/4 = 3/2。新的积：1/(αβ) = 1/4。
方程：x² − (3/2)x + 1/4 = 0，即 4x² − 6x + 1 = 0。
4. 方程 x² + (k + 2)x + 9 = 0 有相等的根。求 k 的可能值。
答案
相等的根表示 b² − 4ac = 0，所以 (k + 2)² − 36 = 0。
(k + 2)² = 36，k + 2 = 6 或 k + 2 = −6。
k = 4 或 k = −8。
核对 k = 4：x² + 6x + 9 = (x + 3)²。核对 k = −8：x² − 6x + 9 = (x − 3)²。
5. 把 f(x) = 3x² − 18x + 5 写成 a(x + p)² + q 的形式。写出最小值和它出现的位置。
答案
f(x) = 3(x² − 6x) + 5 = 3[(x − 3)² − 9] + 5 = 3(x − 3)² − 27 + 5 = 3(x − 3)² − 22。
最小值是 −22，出现在 x = 3。
核对：f(3) = 27 − 54 + 5 = −22。
6. 求 g(x) = −3x² + 12x − 4 的最大值，以及它出现时 x 的值。
答案
g(x) = −3(x² − 4x) − 4 = −3[(x − 2)² − 4] − 4 = −3(x − 2)² + 12 − 4 = −3(x − 2)² + 8。
a 是负数，图像开口向下。最大值是 8，出现在 x = 2。
核对：g(2) = −12 + 24 − 4 = 8。
7. 解 3x² + x − 2 ≥ 0。
答案
因式分解：(3x − 2)(x + 1) ≥ 0，根是 x = 2/3 和 x = −1。
图像开口向上，≥ 0 表示在 x 轴上或上方，那是两根之外的部分，并包括根。
x ≤ −1 或 x ≥ 2/3。
核对 x = 0：−2，不大于或等于 0，所以中间被正确地排除。
8. 直线 y = 6x − k 与曲线 y = x² + 2x + 5 相切。求 k，以及直线和曲线的切点坐标。
答案
联立：x² + 2x + 5 = 6x − k，整理得 x² − 4x + (5 + k) = 0。
相切表示 b² − 4ac = 0：16 − 4(5 + k) = 0，所以 16 − 20 − 4k = 0，k = −1。
于是 x² − 4x + 4 = 0，x = 2。曲线给出 y = 4 + 4 + 5 = 13，切点是 (2, 13)。
核对：直线是 y = 6x + 1，x = 2 时 y = 13。
做错了怎么办？
| 题号 | 要复习的技能 |
|---|---|
| 1、2 和 3 | 根与系数的关系 |
| 4 和 8 | 用判别式判断根的类型 |
| 5 和 6 | 配方求转折点 |
| 7 | 用区间解二次不等式 |
用限时练习生成器继续练习，用错题记录追踪失误。想让老师检查你的解题过程，可以看线上一对一附加数学补习。