对 ax² + bx + c = 0，设两根是 α 和 β。两根之和是 −b/a，两根之积是 c/a。用这两个结果，很多题目不用解方程就能答。
公式是怎样来的？
如果 α 和 β 是根，那么 x² + (b/a)x + c/a = (x − α)(x − β) = x² − (α + β)x + αβ。比较系数，就得到 α + β = −b/a，αβ = c/a。
记住这个来源。忘了符号的时候，你可以自己把公式推出来。
例题：求和与积
这是一道原创例题。方程 3x² − 7x + 2 = 0 的两根是 α 和 β。求 α + β 和 αβ。
这里 a = 3，b = −7，c = 2。
α + β = −b/a = −(−7)/3 = 7/3。
αβ = c/a = 2/3。
解方程核对：3x² − 7x + 2 = (3x − 1)(x − 2)，根是 1/3 和 2。和是 7/3，积是 2/3，两个结果都吻合。
由两根的关系求未知数
设 x² − 12x + k = 0 的一个根是另一个根的 3 倍。求 k。
- 设两根为 α 和 3α。
- 和：α + 3α = 12，所以 4α = 12，α = 3。
- 两根是 3 和 9。
- 积：k = 3 × 9 = 27。
核对：x² − 12x + 27 = (x − 3)(x − 9)，两根是 3 和 9，9 确实是 3 的 3 倍。
怎样形成新的方程？
有些题目要你形成一个新方程，它的根和原方程的根有关。设 α 和 β 是 x² − 8x + 15 = 0 的根。求根为 α + 2 和 β + 2 的方程。
- 由原方程：α + β = 8，αβ = 15。
- 新的和：(α + 2) + (β + 2) = 8 + 4 = 12。
- 新的积：(α + 2)(β + 2) = αβ + 2(α + β) + 4 = 15 + 16 + 4 = 35。
- 方程：x² − 12x + 35 = 0。
核对：原方程的根是 3 和 5，所以新的根是 5 和 7。它们的和是 12，积是 35，吻合。
最容易丢分的失误
常见的失误是漏掉“和”前面的减号，写成 x² + 12x + 35 = 0。这个方程的根是 −5 和 −7，不是 5 和 7。
| 步骤 | 错误做法 | 正确做法 |
|---|---|---|
| 形式 | x² + (和)x + (积) | x² − (和)x + (积) |
| 方程 | x² + 12x + 35 = 0 | x² − 12x + 35 = 0 |
| 根 | −5 和 −7 | 5 和 7 |
检验很快。把想要的根 x = 5 代入。错误的方程得 25 + 60 + 35，不是零。正确的方程得 25 − 60 + 35 = 0。
自我检测
2x² − 10x + 3 = 0 的两根是 α 和 β。求 α + β、αβ，以及根为 3α 和 3β 的方程。
答案
这里 a = 2，b = −10，c = 3。
α + β = 10/2 = 5，αβ = 3/2。
根为 3α 和 3β：和 = 3(α + β) = 15，积 = 9αβ = 27/2。
方程：x² − 15x + 27/2 = 0，即 2x² − 30x + 27 = 0。
接下来学什么？
知道两根的和与积是一种工具。下一种工具是不解方程，就知道有几个根。接着读用判别式判断根的类型，再做练习题。
想让老师指出什么时候用和与积最快，可以看线上一对一附加数学补习。