解二次不等式，先移项使一边是零，求根，画出图像的草图，再读出图像在 x 轴上方或下方的部分。答案是两根之间的一段，或是两根之外的两段。
这一课属于二次函数，用到配方求转折点里关于根和图像形状的认识。
方法是什么？
依序做四步。
- 移项，使一边是零。
- 因式分解，求出根。
- 画草图，标出两个根。
- 读出符合不等号的那一段。
草图能防止你凭感觉乱猜。不需要精确的画法，只要形状和两个交点。
例题：大于零
这是一道原创例题。解 x² − 2x − 8 > 0。
- 右边已经是零。
- 因式分解：(x − 4)(x + 2) > 0，根是 x = 4 和 x = −2。
- x² 的系数是正数，图像开口向上，在 −2 和 4 与 x 轴相交。
- 要求大于零，也就是在 x 轴上方，那是两根之外的部分。
所以 x < −2 或 x > 4。
取中间的 x = 0 试试：0 − 0 − 8 = −8，不大于零。取外面的 x = 5：25 − 10 − 8 = 7，大于零。试值和答案吻合。
例题：小于或等于零
解 x² − 7x + 10 ≤ 0。
因式分解得 (x − 2)(x − 5) ≤ 0，根是 2 和 5。图像开口向上，要求在 x 轴上或下方，那是两根之间的部分。
所以 2 ≤ x ≤ 5。不等号是 ≤，所以包括两个根。
不等式还没有整理好时怎么办？
解 x(x + 2) > 8。
错误的做法。 说 x > 8 或 x + 2 > 8。这把乘积当成每个因式都要大于 8，是错的。
正确的做法。 展开并把所有项移到一边：x² + 2x − 8 > 0。因式分解：(x + 4)(x − 2) > 0。根是 −4 和 2，图像开口向上。
要求大于零，所以 x < −4 或 x > 2。
核对：x = 3 时 3 × 5 = 15，大于 8。x = 0 时 0，不大于 8。答案成立。
最容易丢分的失误
常见的失误是把第一个例题的答案写成 −2 < x > 4。看起来像是“两根之外”的简写，但这个式子没有意义。
| 步骤 | 错误做法 | 正确做法 |
|---|---|---|
| 两根之外的两段 | −2 < x > 4 | x < −2 或 x > 4 |
| 两根之间的一段 | x < −2 且 x > 4 | −2 < x < 4 |
| 错误写法的实际意思 | 第一种只剩 x > 4，第二种根本无解 | 与草图一致 |
“两根之间”可以合写成一个式子。“两根之外”必须用“或”连接两个式子。
自我检测
解 2x² + x − 6 ≤ 0。
答案
因式分解：2x² + x − 6 = (2x − 3)(x + 2)。根是 x = 3/2 和 x = −2。
图像开口向上，≤ 0 表示在 x 轴上或下方，那是两根之间的部分。
−2 ≤ x ≤ 3/2。
核对：x = 0 时 −6 ≤ 0，成立。x = 2 时 8 + 2 − 6 = 4，不小于或等于 0，所以在区间之外。结果一致。
接下来学什么？
这个单元的四项技能现在可以一起用了。做一做混合的二次函数练习题，并用二次图像与根探索器 (英文)观察数字改变时区间怎样移动。
想让老师要求你先画草图再写答案，可以看线上一对一附加数学补习。