附加数学 · 二次函数

用判别式判断根的类型

知道判别式的公式，却总把不等号写反。

判别式 b² − 4ac 告诉你二次方程有几个实根。它是正数，有两个不同的根。它是零，有一个重复的根。它是负数，没有实根。

三种情形是什么样子？

判别式是二次公式根号里的那一部分。它是负数的时候，根号的值不是实数，所以没有实根。

这是一道原创题。方程 x² + kx + 16 = 0 有相等的根。求 k 的值。

核对：k = 8 时 x² + 8x + 16 = (x + 4)²，重复的根是 −4。k = −8 时 x² − 8x + 16 = (x − 4)²，重复的根是 4。两个都成立。

求 m 的范围，使 x² − 6x + m = 0 有实根。

有实根表示 b² − 4ac ≥ 0，所以 36 − 4m ≥ 0，即 36 ≥ 4m，m ≤ 9。

边界 m = 9 是相等根的情形，(x − 3)² = 0，所以要包括在内。

直线 y = 4x + c 与曲线 y = x² + 5 相切。求 c。

核对：x² − 4x + 4 = 0 得 x = 2，切点是 (2, 9)。直线 y = 4x + 1 在 x = 2 时 y = 9，两者在这里相遇。

常见的失误是“没有实根”时把不等号写反。取 x² + kx + 9 = 0，题目要求没有实根。

取一个值试试。k = 7 时 x² + 7x + 9 的判别式是 49 − 36 = 13，是正数，有两个实根。所以 k = 7 不在“没有实根”的范围里。k² − 36 < 0 的解法，见用区间解二次不等式。

方程 3x² − 4x + k = 0 有两个不同的实根。求 k 的范围。

答案

两个不同的实根表示 b² − 4ac > 0。

(−4)² − 4(3)(k) > 0，所以 16 − 12k > 0，12k < 16。

所以 k < 4/3。

核对：k = 1 时 3x² − 4x + 1 = (3x − 1)(x − 1)，有两个不同的根。k = 2 时 16 − 24 是负数，没有实根，和范围一致。

判别式告诉你有几个根，配方则告诉你转折点在哪里。接着读配方求转折点，再用练习题检验自己。

想让老师在新题上检查你写条件的每一步，可以看线上一对一附加数学补习。

判别式是 b² − 4ac，也是二次公式根号里面的那一部分。它为正数，有两个不同的实根。等于零，有两个相等的实根。为负数，根号里是负数，没有实根。

用 b² − 4ac < 0。“有两个不同的实根”用 > 0，“有实根”用 ≥ 0。先把题目的用语对应到正确的条件，再代入 a、b、c。

把直线和曲线的式子联立，整理成 ax² + bx + c = 0。相切就是只相交一次，所以 b² − 4ac = 0。解出未知数后，可以求出切点来核对。

如果不等号或 k 的范围总在最后一步出错，一对一的老师可以在你的新题上看你怎样写条件，并即时纠正。