Apabila satu persamaan linear dan satu lagi tak linear muncul bersama, buat satu pemboleh ubah menjadi subjek daripada persamaan linear, kemudian gantikan ke dalam persamaan tak linear. Hasilnya ialah persamaan kuadratik dalam satu pemboleh ubah.
Pelajaran ini sebahagian daripada bab persamaan serentak Matematik Tambahan SPM. Jika anda belum pasti langkah mana yang patut diambil dahulu, baca memilih penggantian atau penghapusan.
Apa langkah-langkahnya?
- Daripada persamaan linear, tulis satu pemboleh ubah sebagai ungkapan pemboleh ubah yang lain.
- Gantikan ungkapan itu, dengan kurungan, ke dalam persamaan tak linear.
- Kembangkan dan susun menjadi bentuk kuadratik sama dengan sifar.
- Selesaikan, kemudian cari pemboleh ubah kedua bagi setiap punca menggunakan persamaan linear.
- Semak setiap pasangan dalam persamaan tak linear.
Contoh 1: garis lurus dan bulatan
Selesaikan x + y = 5 dan x² + y² = 13.
Daripada persamaan pertama, y = 5 − x. Gantikan dengan kurungan: x² + (5 − x)² = 13.
Kembangkan: x² + 25 − 10x + x² = 13, jadi 2x² − 10x + 12 = 0. Bahagi dengan 2: x² − 5x + 6 = 0, iaitu (x − 2)(x − 3) = 0.
Apabila x = 2, y = 3. Apabila x = 3, y = 2. Semak (2, 3): 4 + 9 = 13. Jawapannya (2, 3) dan (3, 2).
Contoh 2: persamaan dengan hasil darab
Selesaikan 2x + y = 5 dan xy = 3.
Buat y = 5 − 2x dan gantikan: x(5 − 2x) = 3, jadi 5x − 2x² = 3. Susun semula: 2x² − 5x + 3 = 0, iaitu (2x − 3)(x − 1) = 0.
Jadi x = 1.5 atau x = 1. Apabila x = 1.5, y = 5 − 3 = 2. Apabila x = 1, y = 5 − 2 = 3.
Semak: 1.5 × 2 = 3 dan 1 × 3 = 3. Jawapannya (1.5, 2) dan (1, 3).
Kesilapan yang paling kerap membawa jawapan salah
Dalam Contoh 1, pelajar yang tergesa-gesa menulis (5 − x)² = 25 − x². Itu menjatuhkan sebutan tengah −10x, dan persamaan kuadratik yang terhasil menjadi salah.
| Langkah | Salah | Betul |
|---|---|---|
| Gantikan y | x² + 25 − x² = 13 | x² + (5 − x)² = 13 |
| Kembangkan (5 − x)² | 25 − x² | 25 − 10x + x² |
| Hasil | 25 = 13 (mustahil) | 2x² − 10x + 12 = 0 |
Tanda bahawa sesuatu salah ialah sebutan x² hilang dan anda mendapat pernyataan seperti 25 = 13. Persamaan sebenar memberi dua jawapan, jadi jika sebutan kuasa dua hilang, kembali dan kembangkan semula.
Bagaimana saya tahu berapa penyelesaian yang ada?
Selepas penggantian, persamaan kuadratik ax² + bx + c = 0 mempunyai dua punca berbeza jika b² − 4ac > 0, satu punca jika b² − 4ac = 0, dan tiada punca nyata jika b² − 4ac < 0.
Dalam graf, itu bermakna garis memotong lengkung pada dua titik, menyentuhnya pada satu titik, atau tidak bertemu langsung. Gunakan ini untuk memeriksa sama ada bilangan jawapan anda munasabah.
Semak sendiri
Selesaikan x − y = 2 dan x² + y² = 34.
Jawapan
Daripada persamaan pertama, y = x − 2. Gantikan: x² + (x − 2)² = 34, jadi x² + x² − 4x + 4 = 34.
Maka 2x² − 4x − 30 = 0, dan bahagi dengan 2 untuk mendapat x² − 2x − 15 = 0, iaitu (x − 5)(x + 3) = 0.
Apabila x = 5, y = 3. Apabila x = −3, y = −5. Semak (−3, −5): 9 + 25 = 34 dan −3 − (−5) = 2. Jawapannya (5, 3) dan (−3, −5).
Apa yang perlu dipelajari seterusnya?
Apabila soalan dalam bentuk perkataan, anda perlu memutuskan penyelesaian mana yang sah. Teruskan dengan menolak penyelesaian yang tidak sah dalam sistem kontekstual, kemudian uji diri dengan set latihan persamaan serentak.
Jika anda mahu guru memerhati cara anda mengembangkan dan memfaktorkan, lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu lawan satu.