Tiga rumus meliputi kebanyakan geometri koordinat asas: kecerunan, titik tengah dan jarak. Soalan yang sukar menggunakan dua atau tiga daripadanya secara berantai, jadi kemahirannya ialah memilih susunan.
Pelajaran ini sebahagian daripada bab geometri koordinat Matematik Tambahan SPM. Apabila anda bersedia untuk persamaan garis, teruskan dengan garis selari dan berserenjang.
Tiga rumus sekali pandang
Bagi titik A(x₁, y₁) dan B(x₂, y₂):
| Kuantiti | Rumus | Operasi pada koordinat |
|---|---|---|
| Kecerunan | (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) | Tolak, kemudian bahagi |
| Titik tengah | ((x₁ + x₂) ÷ 2, (y₁ + y₂) ÷ 2) | Tambah, kemudian bahagi dua |
| Jarak | √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) | Tolak, kuasa dua, tambah, punca kuasa dua |
Perhatikan bahawa titik tengah menambah manakala dua yang lain menolak. Perbezaan itu wajar diingat.
Contoh penyelesaian: pembahagi dua sama serenjang
Titik-titiknya ialah A(−1, 1) dan B(5, 5). Cari persamaan pembahagi dua sama serenjang bagi AB, kemudian cari titik C pada pembahagi dua itu yang terletak pada paksi-y.
Langkah 1: titik tengah. M = ((−1 + 5) ÷ 2, (1 + 5) ÷ 2) = (2, 3).
Langkah 2: kecerunan AB. (5 − 1) ÷ (5 + 1) = 4 ÷ 6 = 2/3.
Langkah 3: kecerunan berserenjang. Terbalikkan dan tukar tanda: −3/2.
Langkah 4: persamaan. y − 3 = −(3/2)(x − 2). Darab dengan 2: 2y − 6 = −3x + 6, jadi 3x + 2y = 12.
Langkah 5: titik pada paksi-y. Letakkan x = 0: 2y = 12, jadi y = 6 dan C = (0, 6).
Semak dengan jarak. CA² = (0 + 1)² + (6 − 1)² = 1 + 25 = 26. CB² = (0 − 5)² + (6 − 5)² = 25 + 1 = 26. Kedua-duanya sama, seperti yang mesti dipenuhi oleh titik pada pembahagi dua sama serenjang.
Kesilapan yang menyebabkan markah hilang
Kesilapan paling lazim ialah menggunakan penolakan rumus kecerunan pada titik tengah, atau sebaliknya.
| Langkah | Salah | Betul |
|---|---|---|
| Titik tengah A(−1, 1), B(5, 5) | ((5 + 1) ÷ 2, (5 − 1) ÷ 2) = (3, 2) | ((−1 + 5) ÷ 2, (1 + 5) ÷ 2) = (2, 3) |
| Kecerunan berserenjang | 3/2 | −3/2 |
Semakan pantas menangkap kedua-duanya. Titik tengah mesti berada di antara dua titik itu, dan kedua-dua kecerunan mesti menghasilkan −1 apabila didarab: (2/3)(−3/2) = −1.
Semak kendiri
Titik-titiknya ialah P(2, −1) dan Q(8, 7). Cari titik tengah M, panjang PQ, dan persamaan garis yang melalui M dan berserenjang dengan PQ.
Jawapan
M = ((2 + 8) ÷ 2, (−1 + 7) ÷ 2) = (5, 3).
PQ = √(6² + 8²) = √100 = 10.
Kecerunan PQ = 8 ÷ 6 = 4/3, jadi kecerunan berserenjang ialah −3/4.
y − 3 = −(3/4)(x − 5). Darab dengan 4: 4y − 12 = −3x + 15, jadi 3x + 4y = 27. Semak: 3(5) + 4(3) = 27.
Apa yang perlu dipelajari seterusnya?
Teruskan dengan mencari persamaan garis selari dan berserenjang, kemudian cuba set latihan geometri koordinat.
Jika anda mahu guru memerhatikan anda merantai rumus-rumus ini pada soalan yang belum dilihat, lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu lawan satu.