基础的坐标几何题靠三条公式：斜率、中点和两点间长度。难一点的题会把其中两三条串在一起，所以要学会决定先用哪一条。
这一课属于 SPM 附加数学坐标几何。准备好学直线方程时，继续读平行与垂直直线。
三条公式并排看
设点 A(x₁, y₁) 和 B(x₂, y₂)：
| 量 | 公式 | 对坐标的运算 |
|---|---|---|
| 斜率 | (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) | 相减再相除 |
| 中点 | ((x₁ + x₂) ÷ 2, (y₁ + y₂) ÷ 2) | 相加再除以 2 |
| 两点间长度 | √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) | 相减、平方、相加、开方 |
注意中点是相加，另外两个是相减，这个区别要记牢。
例题：垂直平分线
已知 A(1, −2) 和 B(7, 6)。求 AB 的垂直平分线方程，再求这条线与 y 轴的交点 C。
第 1 步：中点。 M = ((1 + 7) ÷ 2, (−2 + 6) ÷ 2) = (4, 2)。
第 2 步：AB 的斜率。 (6 + 2) ÷ (7 − 1) = 8 ÷ 6 = 4/3。
第 3 步：垂直线的斜率。 倒过来再变号：−3/4。
第 4 步：方程。 y − 2 = −(3/4)(x − 4)。两边乘 4：4y − 8 = −3x + 12，所以 3x + 4y = 20。
第 5 步：与 y 轴的交点。 令 x = 0：4y = 20，y = 5，所以 C = (0, 5)。
用长度检查。 CA² = (0 − 1)² + (5 + 2)² = 1 + 49 = 50。CB² = (0 − 7)² + (5 − 6)² = 49 + 1 = 50。两者相等，正是垂直平分线上的点该有的性质。
会丢分的错误
最常见的失误是把斜率的“相减”用在中点上，或者反过来。
| 步骤 | 错误 | 正确 |
|---|---|---|
| A(1, −2)、B(7, 6) 的中点 | ((7 − 1) ÷ 2, (6 + 2) ÷ 2) = (3, 4) | ((1 + 7) ÷ 2, (−2 + 6) ÷ 2) = (4, 2) |
| 垂直线的斜率 | 3/4 | −3/4 |
一个快速检查就能发现这两处错误：中点必须落在两点之间，两个斜率相乘必须是 −1，例如 (4/3)(−3/4) = −1。
自我检查
已知 P(−3, 2) 和 Q(5, 8)。求中点 M、PQ 的长度，以及通过 M 且垂直于 PQ 的直线方程。
答案
M = ((−3 + 5) ÷ 2, (2 + 8) ÷ 2) = (1, 5)。
PQ = √(8² + 6²) = √100 = 10。
PQ 的斜率是 6 ÷ 8 = 3/4，所以垂直线的斜率是 −4/3。
y − 5 = −(4/3)(x − 1)。两边乘 3：3y − 15 = −4x + 4，所以 4x + 3y = 19。检查：4(1) + 3(5) = 19。
接下来学什么
继续读平行与垂直直线的方程，然后做坐标几何练习题。
想要老师一对一陪你在没见过的题目上串联这些公式，可以看线上一对一附加数学补习。应用题结构工作表 (英文)也能帮你在开始前列出已知条件。