附加数学 · 坐标几何

用坐标求面积

顶点列好了，交叉相乘也做了，面积还是不对。

知道多边形的顶点，就能用一套固定的交叉相乘规则求面积。这套规则要求各点按围绕图形的顺序排列，顺序错了，答案就错。

鞋带法有哪几步？

顶点是 A(2, 1)、B(8, 3)、C(5, 7)。

第一个总和：2 × 3 + 8 × 7 + 5 × 1 = 6 + 56 + 5 = 67。

第二个总和：1 × 8 + 3 × 5 + 7 × 2 = 8 + 15 + 14 = 37。

面积 = ½ × |67 − 37| = 15 平方单位。

用另一种方法检验。AB = (6, 2)，AC = (3, 6)，6 × 6 − 2 × 3 = 30，所以面积是 30 ÷ 2 = 15。

按顺序的顶点是 P(0, 0)、Q(5, 0)、R(7, 4)、S(1, 6)。

第一个总和：0 × 0 + 5 × 4 + 7 × 6 + 1 × 0 = 62。第二个总和：0 × 5 + 0 × 7 + 4 × 1 + 6 × 0 = 4。

面积 = ½ × |62 − 4| = 29 平方单位。

沿 PR 拆开检查：三角形 PQR = ½ × 5 × 4 = 10，三角形 PRS = ½ × |7 × 6 − 4 × 1| = 19。合起来 10 + 19 = 29。

常见的失误是把各点按交叉的顺序排列。用同样的四个点，按 P、R、Q、S 的顺序。

顺序	第一个总和	第二个总和	面积
P, Q, R, S（沿着图形）	62	4	29
P, R, Q, S（交叉）	30	20	5

第二种顺序把 P 连到 R、Q 连到 S，线在图形中间交叉，公式算的是一个扭曲的图形。画一张草图，就能看出哪种顺序沿着边界走。

求顶点为 (−3, 1)、(3, −2) 和 (1, 4) 的三角形面积。

答案

第一个总和：(−3)(−2) + 3 × 4 + 1 × 1 = 6 + 12 + 1 = 19。

第二个总和：1 × 3 + (−2)(1) + 4 × (−3) = 3 − 2 − 12 = −11。

面积 = ½ × |19 − (−11)| = ½ × 30 = 15 平方单位。

用坐标几何练习题测试自己。当一道题可以用不止一条路线解，请看不止一种解法的几何问题。

应用题结构工作表 (英文)能帮你列出各个点，错题记录能看出顺序是不是你常犯的错。想要老师一对一带你练，可以看线上一对一附加数学补习。

按围绕图形的顺序列出顶点，并在最后重复第一个点。把每个 x 乘下一个 y 并相加，再把每个 y 乘下一个 x 并相加。两个总和相减，取正值再除以 2。

两个方向都可以，因为最后一步取正值。重要的是各点必须沿着边界依次排列。先画草图是排对顺序最容易的方法。

求这三点围成的三角形面积。如果面积是零，三点就共线。也可以检查前两点之间的斜率是否等于后两点之间的斜率。

把图形拆成几个三角形再加起来，或者换一个起点重新排列同一组顶点。如果两个结果不同，就重新检查顺序和每一个乘积。

如果交叉相乘没问题，面积却不对，一对一的老师可以看你怎样排列各点，并教你先画草图来避免出错。