Titik pegun ialah titik yang kecerunannya sifar. Untuk mencarinya, selesaikan dy/dx = 0 bagi x, kemudian gantikan ke dalam lengkung untuk mendapatkan y. Untuk menentukan sifatnya, gunakan terbitan kedua.
Pelajaran ini sebahagian daripada bab pembezaan Matematik Tambahan SPM. Ia menggunakan petua daripada pembezaan kuasa, hasil darab dan hasil bahagi.
Apa empat langkah kaedahnya?
- Bezakan: cari dy/dx.
- Selesaikan dy/dx = 0 untuk mendapatkan nilai x.
- Gantikan setiap x ke dalam y untuk mendapatkan koordinat.
- Cari d²y/dx² dan uji setiap x: negatif bermaksud maksimum, positif bermaksud minimum.
Contoh berperingkat
Cari titik pegun bagi y = x³ − 6x² + 9x + 2 dan nyatakan sifatnya.
Kecerunan. dy/dx = 3x² − 12x + 9 = 3(x² − 4x + 3) = 3(x − 1)(x − 3).
Nilai x pada titik pegun. 3(x − 1)(x − 3) = 0 memberi x = 1 atau x = 3.
Koordinat. Pada x = 1: y = 1 − 6 + 9 + 2 = 6, maka titiknya (1, 6). Pada x = 3: y = 27 − 54 + 27 + 2 = 2, maka titiknya (3, 2).
Sifat. d²y/dx² = 6x − 12. Pada x = 1 nilainya −6, iaitu negatif, maka (1, 6) ialah maksimum. Pada x = 3 nilainya 6, iaitu positif, maka (3, 2) ialah minimum.
Mengapa terbitan kedua berkesan?
Terbitan kedua menunjukkan bagaimana kecerunan berubah. Nilai negatif bermakna kecerunan semakin berkurang, iaitu daripada positif melalui sifar kepada negatif, dan lengkung mencapai puncak. Nilai positif ialah sebaliknya, dan lengkung mencapai dasar.
Kesilapan yang menghilangkan markah
Pelajar kerap berhenti selepas mendapat x dan tidak menguji sifatnya, atau menyatakan sifat tanpa bukti.
| Langkah | Jawapan lemah | Jawapan penuh |
|---|---|---|
| Titik | x = 1 | (1, 6) |
| Sifat | “Ia maksimum” | d²y/dx² = −6 < 0, maka maksimum |
Apabila d²y/dx² = 0, ujian itu tidak memberi keputusan. Bagi y = x³ pada x = 0, kecerunan 3x² positif di kedua-dua belah, maka titik itu ialah lengkok balas dan bukan titik pusingan.
Semak kendiri
Cari titik pegun bagi y = 2x³ − 9x² + 12x − 1 dan nyatakan sifatnya.
Jawapan
dy/dx = 6x² − 18x + 12 = 6(x − 1)(x − 2), maka x = 1 atau x = 2.
Pada x = 1: y = 2 − 9 + 12 − 1 = 4. Pada x = 2: y = 16 − 36 + 24 − 1 = 3.
d²y/dx² = 12x − 18. Pada x = 1 nilainya −6, maka (1, 4) ialah maksimum. Pada x = 2 nilainya 6, maka (2, 3) ialah minimum.
Apa langkah seterusnya?
Titik pegun membawa terus kepada masalah pengoptimuman dan kadar perubahan. Jika soalan mengehadkan x dalam suatu selang, baca membandingkan titik hujung dan titik pegun dalam pengoptimuman berkekangan.
Jika anda mahu seorang guru membaca kerja anda dan menunjukkan baris mana yang kehilangan markah, lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu lawan satu.