附加数学 · 微分

求驻点并判断极大极小

你会求出梯度为零的点，但判断极大极小全凭感觉。

驻点就是梯度为零的点。先解 dy/dx = 0 求出 x，再代入曲线方程求 y，最后用二阶导数判断它的性质。

四个步骤怎么走？

求 y = x³ − 6x² + 9x + 2 的驻点，并判断它们的性质。

梯度。 dy/dx = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3)。

驻点的 x。 令 3(x − 1)(x − 3) = 0，得 x = 1 或 x = 3。

坐标。 x = 1 时，y = 1 − 6 + 9 + 2 = 6，点是 (1, 6)。x = 3 时，y = 27 − 54 + 27 + 2 = 2，点是 (3, 2)。

性质。 d²y/dx² = 6x − 12。x = 1 时是 −6，为负，所以 (1, 6) 是极大点。x = 3 时是 6，为正，所以 (3, 2) 是极小点。

二阶导数告诉你梯度正在怎样变化。它是负数，说明梯度在变小，从正数经过零变成负数，曲线先升后降，形成山顶。

它是正数则相反，梯度由负经零变正，曲线先降后升，形成谷底。

有的同学求出 x 就停笔，没有检验性质；有的只写一句「是极大点」，却没有依据。

步骤	不完整的写法	完整的写法
点	x = 1	(1, 6)
性质	「它是极大点」	d²y/dx² = −6 < 0，所以是极大点

二阶导数等于零时，这个测试给不出结论。以 y = x³ 在 x = 0 为例，梯度 3x² 在点的两边都是正数，所以它是拐点，不是转折点。

求 y = 2x³ − 9x² + 12x − 1 的驻点，并判断性质。

答案

dy/dx = 6x² − 18x + 12 = 6(x − 1)(x − 2)，所以 x = 1 或 x = 2。

x = 1 时，y = 2 − 9 + 12 − 1 = 4。x = 2 时，y = 16 − 36 + 24 − 1 = 3。

d²y/dx² = 12x − 18。x = 1 时是 −6，所以 (1, 4) 是极大点。x = 2 时是 6，所以 (2, 3) 是极小点。

驻点直接通向最优化与变化率问题。如果题目把 x 限制在一个区间内，请读在受限区间内比较端点与驻点。

想请老师看你的解题过程，指出哪一行失分，可以了解线上一对一附加数学补习。

驻点是曲线上梯度等于零的点，也就是 dy/dx = 0。它可能是极大点、极小点，有些曲线上还会是拐点。x 的值来自解 dy/dx = 0，y 的值则把 x 代回曲线方程得到。

先求 d²y/dx²，再把每个 x 值代进去。结果是负数，该点是极大点；结果是正数，该点是极小点。答案里要写出这个符号，作为判断的依据。

这时二阶导数测试无法判断。改看该点前后 dy/dx 的符号：由正变负是极大点，由负变正是极小点，符号没有改变就是拐点。

除非题目只问 x，否则写出坐标。完整的答案同时写出点的位置和性质，例如「(3, 2) 是极小点」。

如果你能求出驻点，却在性质或坐标的写法上丢分，一对一课堂里老师可以检查你的解题格式，并示范拿满分的写法。