附加数学 · 微分

幂、乘积与商的微分

法则都记得，遇到乘积和分式却不知道该用哪一条。

幂法则处理单独的项，乘积法则处理两个相乘的因子，商法则处理一个式子除以另一个式子。动笔之前，先选对法则。

这一课是 SPM 附加数学微分的第一课，接下来是应用链式法则。

幂法则

若 y = axⁿ，则 dy/dx = anxⁿ⁻¹。先乘以指数，再把指数减 1。

例子：y = 5x⁴ − 2x³ + 6x − 9，得 dy/dx = 20x³ − 6x² + 6。常数项消失，单独的 x 变成 1。

根号和分式要先改写。对 y = 4 ÷ x³ + 2√x，写成 y = 4x⁻³ + 2x^(1/2)。于是 dy/dx = −12x⁻⁴ + x^(−1/2)，也就是 −12 ÷ x⁴ + 1 ÷ √x。

若 y = uv，则 dy/dx = u′v + uv′。

例子：y = x³(2x − 5)。令 u = x³，v = 2x − 5，则 u′ = 3x²，v′ = 2。于是 dy/dx = 3x²(2x − 5) + x³(2) = 6x³ − 15x² + 2x³ = 8x³ − 15x²。

用展开检查：y = 2x⁴ − 5x³，所以 dy/dx = 8x³ − 15x²。两种方法相符。

若 y = u ÷ v，则 dy/dx = (u′v − uv′) ÷ v²。

例子：y = (3x − 2) ÷ (x + 4)。令 u = 3x − 2，v = x + 4，则 u′ = 3，v′ = 1。

dy/dx = (3(x + 4) − (3x − 2)(1)) ÷ (x + 4)² = (3x + 12 − 3x + 2) ÷ (x + 4)² = 14 ÷ (x + 4)²。

常见的失误是把每个因子各自微分，再把答案相乘。

步骤	错误	正确
x³(2x − 5) 的导数	3x² × 2 = 6x²	3x²(2x − 5) + x³ × 2 = 8x³ − 15x²

用商法则时，常见的失误是把分子倒着写成 uv′ − u′v，整个答案的符号就会相反。

微分 y = (x² + 3) ÷ (x + 1)，再求 x = 2 时的梯度。

答案

u = x² + 3，v = x + 1，所以 u′ = 2x，v′ = 1。

dy/dx = (2x(x + 1) − (x² + 3)(1)) ÷ (x + 1)² = (2x² + 2x − x² − 3) ÷ (x + 1)² = (x² + 2x − 3) ÷ (x + 1)²。

x = 2 时：分子 = 4 + 4 − 3 = 5，分母 = 3² = 9，所以梯度是 5/9。

想要老师一对一看你在新的式子上怎样选法则，可以看线上一对一附加数学补习。

先改写成幂：3 除以 x² 就是 3x⁻²。再用幂法则：乘以指数，指数减 1。所以导数是 −6x⁻³，也可以写成 −6 除以 x³。

两个含 x 的式子相乘，而且先展开会很长的时候使用。写出 u 和 v，求 u′ 和 v′，然后用 dy/dx = u′v + uv′。如果展开很短，展开后用幂法则也得到相同的答案。

对 y = u ÷ v，dy/dx = (u′v − uv′) ÷ v²。分子以 u′v 开头。把减法顺序倒过来，符号就会错，所以每次都先写 u′v。

两个因子同时在变，各自的变化都会影响乘积。乘积法则把“v 不变时 u 变化”的影响和“u 不变时 v 变化”的影响加起来。u′ 乘 v′ 忽略了这一点。

如果在时间压力下混淆乘积法则和商法则，一对一的老师可以用没见过的式子反复练习选择，直到变成自动反应。