这十道题按微分各课的顺序排列。题目的数字都是原创的，每个答案都写出过程和验算。
请先在纸上作答，做错的步骤记进错题记录与试卷错误分析。
题目与答案
第 1 题。 微分 y = 5x⁴ − 3x² + 8。
答案
dy/dx = 20x³ − 6x。常数 8 微分后消失。
第 2 题。 微分 y = 2√x − 6 ÷ x²。
答案
先改写成 y = 2x^(1/2) − 6x⁻²。则 dy/dx = x^(−1/2) + 12x⁻³，即 1 ÷ √x + 12 ÷ x³。
第 3 题。 微分 y = (2x − 3)⁵。
答案
外层：5(2x − 3)⁴。内层：2。所以 dy/dx = 10(2x − 3)⁴。
第 4 题。 用乘积法则微分 y = (x² + 1)(2x − 5)，并用展开法验算。
答案
令 u = x² + 1，v = 2x − 5，则 dy/dx = 2x(2x − 5) + (x² + 1)(2) = 4x² − 10x + 2x² + 2 = 6x² − 10x + 2。
验算：展开得 2x³ − 5x² + 2x − 5，微分得 6x² − 10x + 2，两种方法一致。
第 5 题。 微分 y = x ÷ (x + 2)。
答案
令 u = x，v = x + 2。dy/dx = (1(x + 2) − x(1)) ÷ (x + 2)² = 2 ÷ (x + 2)²。
第 6 题。 求曲线 y = x² + 4 ÷ x 在 x = 2 处的切线和法线方程。
答案
点：y = 4 + 2 = 6，所以是 (2, 6)。
dy/dx = 2x − 4x⁻²，x = 2 时是 4 − 1 = 3。
切线：y − 6 = 3(x − 2)，得 y = 3x。
法线：梯度 −1/3，所以 y − 6 = −(1/3)(x − 2)，得 x + 3y = 20。验算：2 + 18 = 20。
第 7 题。 求 y = x³ − 12x + 5 的驻点，并判断性质。
答案
dy/dx = 3x² − 12 = 0，所以 x = 2 或 x = −2。
y(2) = 8 − 24 + 5 = −11，y(−2) = −8 + 24 + 5 = 21。
d²y/dx² = 6x。x = 2 时是 12 > 0，所以 (2, −11) 是极小点。x = −2 时是 −12 < 0，所以 (−2, 21) 是极大点。
第 8 题。 农夫有 40 m 的围栏，靠着一面墙围一个长方形的鸡舍，只围三边。求使面积最大的尺寸。
答案
设垂直于墙的每一边为 x m，平行于墙的一边是 40 − 2x，所以 A = x(40 − 2x) = 40x − 2x²。
dA/dx = 40 − 4x = 0，得 x = 10，另一边是 20 m。
d²A/dx² = −4 < 0，所以面积是最大值：10 m × 20 m，面积 200 m²。
第 9 题。 已知 y = x³ − x，用微分估计 x 由 3 增加到 3.02 时，y 的变化。
答案
x = 3 时，dy/dx = 3x² − 1 = 26。δx = 0.02。
δy ≈ 26 × 0.02 = 0.52。
第 10 题。 圆形水波的半径以每秒 0.5 cm 增加。求半径为 6 cm 时，面积的增加率。
答案
A = πr²，所以 dA/dr = 2πr。链式法则：dA/dt = 2πr × dr/dt。
r = 6 时，dA/dt = 2π(6)(0.5) = 6π cm² 每秒，约 18.85 cm² 每秒。
做错了怎么办
混合题请继续看混合微积分问题的选法。想请老师一对一看你的解题过程，可以了解线上一对一附加数学补习。