x 的一个小变化，会使 y 变化大约「梯度乘以 x 的变化」。写成公式就是 δy ≈ (dy/dx) × δx，其中 δ 表示很小的变化。
本课属于 SPM 附加数学微分 单元，会用到幂、积与商的微分法则。
为什么这个公式成立？
在很短的一小段范围内，光滑曲线看起来几乎就是它的切线。切线的梯度是 dy/dx，所以沿曲线走 δx，y 就变化大约 (dy/dx) × δx。
δx 越小，估计越准确。
例题一：y 的变化
对于 y = x²，求 x 由 5 增加到 5.02 时，y 的近似变化。
x = 5 时，dy/dx = 2x = 10。这里 δx = 0.02。
δy ≈ 10 × 0.02 = 0.2。精确值是 5.02² − 25 = 25.2004 − 25 = 0.2004，可见估计很接近。
例题二：求根的近似值
用微分求 √16.3 的近似值。
令 y = √x = x^(1/2)，则 dy/dx = 1 ÷ (2√x)。选 x = 16，因为 √16 = 4 是精确值，并取 δx = 0.3。
x = 16 时，dy/dx = 1/8，所以 δy ≈ (1/8)(0.3) = 0.0375。
于是 √16.3 ≈ 4 + 0.0375 = 4.0375。计算机给出 4.03733，所以近似值准确到小数点后三位。
例题三：圆的面积
圆的半径是 10 cm，增加了 0.2 cm。求面积的近似增加量。
A = πr²，所以 dA/dr = 2πr，r = 10 时等于 20π。δr = 0.2，所以 δA ≈ 20π × 0.2 = 4π cm²，约 12.57 cm²。
会丢分的写法
常见的错误是：起点选错，或最后一步直接用计算机。
| 步骤 | 错误 | 正确 |
|---|---|---|
| 求 √16.3 的起点 | x = 16.3 | x = 16，δx = 0.3 |
| 最后答案 | 计算机给 √16.3 = 4.0373 | 4 + 0.0375 = 4.0375，并写出过程 |
选一个接近的数，并让它的根或幂是精确值，再写明 δx 是多少。
自测
用微分求 27.3 的立方根的近似值。
答案
令 y = x^(1/3)，则 dy/dx = (1/3)x^(−2/3)。x = 27 时，x^(−2/3) = 1/9，所以 dy/dx = 1/27。
取 δx = 0.3：δy ≈ 0.3 ÷ 27 = 0.0111。
27.3 的立方根近似于 3 + 0.0111 = 3.0111。
接下来学什么
用微分练习题检查整个单元。如果最优化和变化率还不稳，请回头读最优化与变化率问题。
想请老师检查你选起点的方法，可以了解线上一对一附加数学补习。