Sepuluh soalan ini mengikut susunan pelajaran pembezaan. Semua soalan ditulis khas untuk laman ini, dan setiap jawapan menunjukkan kerja pengiraan serta semakan.
Kerjakan di atas kertas dahulu. Gunakan log kesilapan dan semakan ralat kertas untuk merekod langkah yang tersilap.
Soalan dan jawapan
Soalan 1. Bezakan y = 5x⁴ − 3x² + 8.
Jawapan
dy/dx = 20x³ − 6x. Pemalar 8 hilang.
Soalan 2. Bezakan y = 2√x − 6 ÷ x².
Jawapan
Tulis semula sebagai y = 2x^(1/2) − 6x⁻². Maka dy/dx = x^(−1/2) + 12x⁻³, iaitu 1 ÷ √x + 12 ÷ x³.
Soalan 3. Bezakan y = (2x − 3)⁵.
Jawapan
Luar: 5(2x − 3)⁴. Dalam: 2. Maka dy/dx = 10(2x − 3)⁴.
Soalan 4. Bezakan y = (x² + 1)(2x − 5) menggunakan petua hasil darab, dan semak dengan mengembangkan.
Jawapan
u = x² + 1 dan v = 2x − 5, maka dy/dx = 2x(2x − 5) + (x² + 1)(2) = 4x² − 10x + 2x² + 2 = 6x² − 10x + 2.
Semak: pengembangan memberi 2x³ − 5x² + 2x − 5, yang terbitannya 6x² − 10x + 2.
Soalan 5. Bezakan y = x ÷ (x + 2).
Jawapan
u = x dan v = x + 2. dy/dx = (1(x + 2) − x(1)) ÷ (x + 2)² = 2 ÷ (x + 2)².
Soalan 6. Cari persamaan tangen dan normal kepada y = x² + 4 ÷ x pada x = 2.
Jawapan
Titik: y = 4 + 2 = 6, maka (2, 6).
dy/dx = 2x − 4x⁻², yang pada x = 2 ialah 4 − 1 = 3.
Tangen: y − 6 = 3(x − 2), maka y = 3x.
Normal: kecerunan −1/3, maka y − 6 = −(1/3)(x − 2), memberi x + 3y = 20. Semak: 2 + 18 = 20.
Soalan 7. Cari titik pegun bagi y = x³ − 12x + 5 dan tentukan sifatnya.
Jawapan
dy/dx = 3x² − 12 = 0, maka x = 2 atau x = −2.
y(2) = 8 − 24 + 5 = −11 dan y(−2) = −8 + 24 + 5 = 21.
d²y/dx² = 6x. Pada x = 2 nilainya 12 > 0, maka (2, −11) ialah minimum. Pada x = −2 nilainya −12 < 0, maka (−2, 21) ialah maksimum.
Soalan 8. Seorang petani mempunyai pagar sepanjang 40 m untuk tiga sisi sebuah reban segi empat tepat yang bersebelahan dinding. Cari ukuran yang memberi luas terbesar.
Jawapan
Biar setiap sisi yang berserenjang dengan dinding ialah x m. Sisi yang selari dengan dinding ialah 40 − 2x, maka A = x(40 − 2x) = 40x − 2x².
dA/dx = 40 − 4x = 0, maka x = 10. Sisi yang satu lagi ialah 20 m.
d²A/dx² = −4 < 0, maka luas ialah maksimum: 10 m kali 20 m, luas 200 m².
Soalan 9. Diberi y = x³ − x, gunakan pembezaan untuk menganggar perubahan dalam y apabila x bertambah daripada 3 kepada 3.02.
Jawapan
dy/dx = 3x² − 1 = 26 pada x = 3. Perubahan δx = 0.02.
δy ≈ 26 × 0.02 = 0.52.
Soalan 10. Jejari sebuah riak bulat bertambah pada kadar 0.5 cm sesaat. Cari kadar pertambahan luas apabila jejari ialah 6 cm.
Jawapan
A = πr², maka dA/dr = 2πr. Melalui petua rantai, dA/dt = 2πr × dr/dt.
Pada r = 6: dA/dt = 2π(6)(0.5) = 6π cm² sesaat, iaitu kira-kira 18.85 cm² sesaat.
Jika anda tersalah jawab
- Soalan 1 hingga 5 memerlukan pembezaan kuasa, hasil darab dan hasil bahagi serta petua rantai.
- Soalan 6 memerlukan tangen dan normal.
- Soalan 7 dan 8 memerlukan titik pegun dan pengoptimuman.
- Soalan 9 memerlukan perubahan kecil dan penghampiran.
Untuk masalah campuran, teruskan ke memilih kaedah dalam masalah kalkulus campuran. Jika anda mahu seorang guru memerhatikan kerja anda, lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu lawan satu.