Rumus sudut majmuk memecahkan sudut seperti 75° kepada sudut yang nilai tepatnya anda tahu, dan rumus sudut berganda menukar sin 2A kepada sebutan dalam A. Kedua-duanya menggantikan anggaran kalkulator dengan nilai tepat.
Pelajaran ini sebahagian daripada bab fungsi trigonometri dalam Matematik Tambahan SPM. Ia menggunakan identiti untuk memudahkan ungkapan.
Rumus mana yang perlu dihafal?
| Rumus | Bentuk |
|---|---|
| sin (A ± B) | sin A kos B ± kos A sin B |
| kos (A ± B) | kos A kos B ∓ sin A sin B |
| sin 2A | 2 sin A kos A |
| kos 2A | kos²A − sin²A = 2 kos²A − 1 = 1 − 2 sin²A |
Rumus sudut berganda ialah kes khas apabila B = A. Gantikan B = A dalam sin (A + B) untuk mendapat sin 2A = 2 sin A kos A.
Contoh 1: nilai tepat
Cari nilai tepat sin 75°.
Tulis 75° = 45° + 30°. Maka sin 75° = sin 45° kos 30° + kos 45° sin 30°.
Gantikan nilai yang diketahui: (√2 ÷ 2)(√3 ÷ 2) + (√2 ÷ 2)(½) = √6 ÷ 4 + √2 ÷ 4.
Jawapannya (√6 + √2) ÷ 4, iaitu kira-kira 0.966. Semak dengan kalkulator: sin 75° ≈ 0.966.
Contoh 2: sudut berganda daripada nisbah
Diberi sin A = 3/5 dan A akut, cari sin 2A dan kos 2A.
Kos A = 4/5 kerana 3² + 4² = 5². Maka sin 2A = 2(3/5)(4/5) = 24/25.
Untuk kos 2A, gunakan 1 − 2 sin²A kerana sin A sudah diberi: 1 − 2(9/25) = 1 − 18/25 = 7/25. Semak: (24/25)² + (7/25)² = 576/625 + 49/625 = 625/625 = 1.
Contoh 3: menyelesaikan persamaan
Selesaikan kos 2x + 3 kos x + 2 = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360°.
Gunakan kos 2x = 2 kos²x − 1 supaya hanya kos x kekal: 2 kos²x − 1 + 3 kos x + 2 = 0, jadi 2 kos²x + 3 kos x + 1 = 0.
Faktorkan: (2 kos x + 1)(kos x + 1) = 0. Kos x = −½ memberi 120° dan 240°. Kos x = −1 memberi 180°. Jawapannya x = 120°, 180°, 240°.
Kesilapan yang paling kerap
Kesilapan pertama ialah sin (A + B) = sin A + sin B. Uji dengan A = B = 30°: sin 60° ≈ 0.866, tetapi sin 30° + sin 30° = 1.
Kesilapan kedua ialah sin 2A = 2 sin A, yang meninggalkan kos A. Dalam Contoh 2, jawapan itu memberi 6/5, yang lebih besar daripada 1, dan sin tidak boleh melebihi 1. Itu petunjuk serta-merta bahawa sesuatu salah.
Semak sendiri
Diberi kos A = 12/13 dan A akut, cari sin 2A.
Jawapan
Cari sin A: sin²A = 1 − 144/169 = 25/169, jadi sin A = 5/13 (A akut, maka positif).
Maka sin 2A = 2 sin A kos A = 2(5/13)(12/13) = 120/169.
Semak: kos 2A = 2(144/169) − 1 = 119/169, dan (120/169)² + (119/169)² = (14 400 + 14 161) ÷ 28 561 = 1.
Apa yang perlu dipelajari seterusnya?
Setelah anda boleh menggunakan rumus, pelajari melakar fungsi trigonometri yang diubah. Kemudian uji keseluruhan bab dengan set latihan.
Jika anda mahu guru menunjukkan rumus mana yang patut dipilih pada soalan anda, lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu lawan satu.