附加数学 · 函数

反函数与定义域限制

你会移项求 f⁻¹(x)，但定义域和正负号还是会出错。

反函数 f⁻¹ 把 f 还原：如果 f 把 a 送到 b，f⁻¹ 就把 b 送回 a。有两个地方可能出错，一是移项，二是定义域，本课两者都会讲到。

本课接在按正确顺序求复合函数之后，因为最后的验算就是一个复合函数。整章概览请看函数。

怎样求反函数？

四个步骤：写 y = f(x)，解出 x，把字母对调，使答案读作 f⁻¹(x)，最后写出定义域。

取 f(x) = (2x + 3) ÷ (x − 1)，x ≠ 1。

限制条件 x ≠ 2，是 f 永远不会输出的值。验算：f(3) = 9 ÷ 2 = 4.5，f⁻¹(4.5) = 7.5 ÷ 2.5 = 3，得回原来的输入。

令 f(x) = (x − 2)²。在全体实数上它没有反函数，因为 f(1) = f(3) = 1。

定义域 x ≥ 2。 设 y = (x − 2)²，则 x − 2 = ±√y。因为 x ≥ 2，x − 2 不是负数，所以取 x − 2 = +√y，x = 2 + √y。

f 的值域是 y ≥ 0，所以 f⁻¹(x) = 2 + √x，x ≥ 0。

定义域 x ≤ 2。 这时 x − 2 不是正数，所以 x − 2 = −√y，x = 2 − √y。

反函数是 f⁻¹(x) = 2 − √x，x ≥ 0。两个反函数只差一个符号，由 f 的定义域决定哪一个才对。

验算第一个：f⁻¹(9) = 2 + 3 = 5，f(5) = 3² = 9，吻合。

常见的错误有两个：答案里留着 ±，或者没读定义域就选正负号。反函数也是函数，每个输入只有一个输出，所以留着 ± 的答案不算函数。

f 的定义域已经决定了正负号，所以取平方根之前，先读它。

f(x) = x² + 1，定义域 x ≥ 0。求 f⁻¹(x) 和 f⁻¹(10)。

答案

y = x² + 1，所以 x² = y − 1。定义域 x ≥ 0，x 不是负数，所以 x = √(y − 1)。

f 的值域是 y ≥ 1，所以 f⁻¹(x) = √(x − 1)，x ≥ 1。

f⁻¹(10) = √9 = 3。验算：f(3) = 9 + 1 = 10。

下一课是解含未知函数的方程，反函数和复合函数会一起出现。也可以在复合与反函数探索器 (英文)里试你自己的函数组合。

如果限制还是会漏掉，线上一对一附加数学补习能让老师逐行读你的解题过程。

每个输入要有不同的输出，每个输出只来自一个输入。像 x² 在全体实数上不行，因为 2 和 −2 都得 4。限制定义域就能解决。

f⁻¹ 的定义域就是 f 的值域。先由 f 的定义域求出它的值域，再把这个值域写成反函数的定义域。

f 的定义域决定正负号。如果 f 的定义域是 x ≥ 2，想要还原的 x 都至少是 2，所以 x = 2 + √y，而不是 2 − √y。定义域是 x ≤ 2 时，负号才对。

取一个值，先用 f，再把结果用 f⁻¹，应该回到出发的那个值。一次数值验算，就能抓出多数符号和移项错误。

如果反函数算对了，定义域或正负号却写错，一对一课堂里老师可以指出是哪一行漏掉了限制。咨询时告诉我们年级和哪一题反函数出错。