附加数学 · 函数

解含未知函数的方程

题目把常数藏在函数里，你不知道该让什么相等。

有的函数题给出一条缺了东西的规则，要你把它找出来。做法是把题目的话变成方程，再解、再验算。

未知数有哪几种？

已知 f(x) = 4x − 1，g(x) = x + a，fg(2) = 15。求 a。

已知 f(x) = (x + 4) ÷ 3。解 f(x) = f⁻¹(x)。

先求反函数：y = (x + 4) ÷ 3 得 x = 3y − 4，所以 f⁻¹(x) = 3x − 4。

令 (x + 4) ÷ 3 = 3x − 4。两边乘 3：x + 4 = 9x − 12，所以 16 = 8x，x = 2。

验算：f(2) = 6 ÷ 3 = 2，f⁻¹(2) = 6 − 4 = 2。两者都等于 2，答案成立。

已知 f(x) = x + 2，g(x) = x²，定义域 x > 0。解 gf(x) = 25。

gf(x) = (x + 2)²。令 (x + 2)² = 25，则 x + 2 = 5 或 x + 2 = −5，得 x = 3 或 x = −7。

定义域是 x > 0，所以舍去 x = −7。答案是 x = 3。验算：f(3) = 5，g(5) = 25。

错误在于：题目问 gf(x)，你却解了 fg(x)；或者保留了定义域不允许的根。两者都是因为动笔前没有划出题目所问。请在第一行写出你需要的复合函数，例如「gf(x) = g(f(x))」。

已知 f(x) = x − 1，g(x) = 2x²。解 gf(x) = 18。

答案

gf(x) = g(f(x)) = 2(x − 1)²。令 2(x − 1)² = 18，则 (x − 1)² = 9，x − 1 = 3 或 −3。

所以 x = 4 或 x = −2，因为题目没有给定义域限制。

验算 x = 4：f(4) = 3，g(3) = 18。验算 x = −2：f(−2) = −3，g(−3) = 18。

用函数练习题检验整章。如果不知道怎样开始一道陌生的题，请读陌生附加数学题怎样选对方法。

想请老师和你一起练这些题型，可以了解线上一对一附加数学补习。

用题目给的任何一个值。若 f(2) = 7，且 f(x) = ax + 3，把 x = 2 代入规则，得 2a + 3 = 7，再解 a。一个已知的输入和输出，足够求一个未知数。

它表示 ff(x)，也就是 f 作用两次，不是把答案平方。若 f(x) = 2x − 3，则 f²(x) = 2(2x − 3) − 3 = 4x − 9。

先求 f⁻¹(x)，令两个式子相等再解。然后把答案代入两边，确认相等。有些题还要你舍去定义域之外的根。

当它落在题目给的定义域之外。代数可能给出两个值，只有属于定义域的才是有效的答案。

如果代数过程都没问题，只是不确定该让什么相等，一对一课堂里老师可以问你方程两边各代表什么。咨询时告诉我们年级，以及卡住你的题型。