两个向量平行，是指其中一个是另一个的倍数，即 a = kb。三点共线则要求两个向量平行，而且有一个公共点。
怎样检验两个向量平行？
把一个向量写成另一个的 k 倍，再对比分量。两个分量必须给出同一个 k。
设 a = (m + 1)i + 6j，b = 4i + 8j，求 m 使 a 平行于 b。
- 写 a = kb，即 (m + 1)i + 6j = k(4i + 8j)。
- 对比 j 的部分：6 = 8k，所以 k = 3/4。
- 对比 i 的部分：m + 1 = 4k = 3，所以 m = 2。
检验：a = 3i + 6j，而 (3/4)(4i + 8j) = 3i + 6j，两边相等。
共线有什么不同？
共线说的是点，所以两个向量必须有一个共有的点。平行说的只是方向。
对 A、B、C 三点，常用的检验是 AB = k BC。B 同时出现在两个向量里，所以 A、B、C 在同一条线上。
这一点在图形题里很重要。如果 AB = 2 CD，只能说 AB 平行于 CD，找不到公共点，就不能说它们共线。
例题：求缺少的坐标
已知 A(1, 2)，B(3, 7)，C(5, h)。若 A、B、C 共线，求 h。
先求两个向量，都是终点减起点。
- AB = (3 − 1, 7 − 2) = (2, 5)
- BC = (5 − 3, h − 7) = (2, h − 7)
写 AB = k BC。第一个分量给出 2 = 2k，所以 k = 1。第二个分量给出 5 = k(h − 7) = h − 7，所以 h = 12。
换一条路线检验：从 A 到 C(5, 12) 的向量是 (4, 10)，而 2 × (2, 5) = (4, 10)。三点在同一条线上，B 是公共点。
会丢分的错误
常见的失误是写到“AB = 2 BC，所以向量平行”就停笔，可是题目问的是共线。
| 步骤 | 不完整 | 完整 |
|---|---|---|
| 关系式 | AB = 2BC | AB = 2BC |
| 理由 | “所以平行” | “AB 平行于 BC，B 是公共点” |
| 结论 | 没有 | “所以 A、B、C 共线” |
另一个失误是只对比一个分量，就当另一个也成立。两个分量都要检验，因为未知数常常在第二个分量里。
自我检查
已知 P(−1, 3)，Q(2, 4)，R(8, t)。求 t 使 P、Q、R 共线。
答案
PQ = (3, 1)，QR = (6, t − 4)。
写 QR = k PQ。第一个分量给出 6 = 3k，所以 k = 2。第二个分量给出 t − 4 = 2 × 1 = 2，所以 t = 6。
检验：PR = (9, 3) = 3 × (3, 1)，所以点 R(8, 6) 在过 P、Q 的直线上。公共点是 Q，所以 P、Q、R 共线。
接下来学什么
下一课图形中的向量比例用同样的想法，求一个点怎样分割线段。更难的图形题，可以看向量的依赖关系与比例推理，也可以做向量练习题检查整个单元。
错题记录能帮你找出自己总是跳过哪一步。如果算式没错，却总在结论那句出问题，可以看线上一对一附加数学补习。