附加数学 · 向量

向量的分量形式与单位向量

方向一反，AB 就变成了 BA，整题的正负号全错。

分量形式表示向量沿 x 轴和 y 轴各走了多远。从 A 到 B 的向量 AB，永远等于 OB − OA，也就是终点减起点。

这一课属于向量单元。下一课大小与方向会用到这里写出的向量。

向量怎样写？

i 和 j 分别是沿 x 轴和 y 轴正方向的单位向量。沿 x 轴走 3 个单位、沿 y 轴往下走 4 个单位的向量，有两种写法。

形式	例子
列向量	(3, −4)
单位向量形式	3i − 4j

向量的加、减和数乘，都是对应的分量逐项计算。设 a = 2i + 3j，b = i − 4j：

2a − 3b = (4i + 6j) − (3i − 12j) = i + 18j。

A 是点 (2, 5)，B 是点 (8, −3)。求 AB。

位置向量是 OA = 2i + 5j 和 OB = 8i − 3j。则 AB = OB − OA = (8 − 2)i + (−3 − 5)j = 6i − 8j。

画图检查方向：从 A 到 B，x 增加 6，y 减少 8，所以 i 的部分是正的，j 的部分是负的，和结果一致。

P 是 (−1, 4)，Q 是 (5, −2)。求 PQ 和线段 PQ 的中点 M。

PQ = OQ − OP = (5 − (−1))i + (−2 − 4)j = 6i − 6j。中点的位置向量是 OM = ½(OP + OQ) = ½[(−i + 4j) + (5i − 2j)] = ½(4i + 2j) = 2i + j，所以 M 是点 (2, 1)。

常见的失误是减的次序反了，写成 AB = OA − OB。这样算出来的其实是 BA，方向正好相反。

默念口诀：“终点减起点”。题目问 AB，B 就是终点。

P 是点 (−1, 4)，Q 是点 (5, −2)。用 i、j 形式写出 QP，并说明它和 PQ 有什么关系。

答案

QP = OP − OQ = (−1 − 5)i + (4 − (−2))j = −6i + 6j。

它是 PQ = 6i − 6j 的相反向量。从 Q 走回 P 是回头路，长度相同，方向相反，所以 QP = −PQ。

下一课学怎样求向量的长度和方向：大小与方向。之后可以做向量练习题，单位与有效数字检查器 (英文)则能帮你处理最后的取整。

想让老师陪你做向量题，可以看线上一对一附加数学补习。

i 是沿 x 轴正方向的单位向量，j 是沿 y 轴正方向的单位向量。3i − 4j 的意思是沿 x 轴走 3 个单位，再沿 y 轴往下走 4 个单位。

两者表示同一个向量，只是写法不同。(3, −4) 与 3i − 4j 完全等价，题目两种写法都可能用，所以要能互相转换。

位置向量是从原点 O 出发到某个点的向量。点 A 的位置向量写成 OA，它的分量就是点 A 的坐标。

把两个端点的位置向量相加再除以 2。P 和 Q 的中点 M，满足 OM = ½(OP + OQ)。

如果向量的正负号总是靠猜，一对一的老师可以看着你怎样由两点求向量，教你一个随手就能用的检查方法。