要推翻一个“所有”的说法，只需要一个反例，也就是一个使说法不成立的情形。你不用检查每一个数。
本课属于 证明或推翻日常的数学说法，单元的背景在 逻辑推理。
反例该去哪里找？
照一个简短的搜索顺序，遇到第一个不成立的情形就停。
- 先试 0 和 1，它们的表现与其他数不同。
- 再试 2（唯一的偶质数）和其他小数。
- 试一个负数和一个分数。
- 都没问题就继续往后试，看规律会不会在某个数上断掉。
每次试验写一行，让失败的那一次容易指出来。
例题：一个看起来很安全的说法
同学说：“对每个整数 n，n² + n + 11 都是质数。”我们按搜索顺序来试。
n = 0：11，是质数。n = 1：13，质数。n = 2：17，质数。
n = 3 得 23，n = 4 得 31，n = 5 得 41，n = 6 得 53，n = 7 得 67，n = 8 得 83，n = 9 得 101，全都是质数。
再试 n = 10：100 + 10 + 11 = 121。121 = 11 × 11，不是质数。
说法在 n = 10 不成立。十个情形看起来都没问题，一个就足以结束争论。
会让你丢分的错误
常见的错误是，成功了几次就停下来，写“说法是真的”。每次的算术都没错，所以感觉很稳妥。
| 步骤 | 错误 | 正确 |
|---|---|---|
| 试过的情形 | n = 0、1、2 | n = 0 到 10 |
| 到目前都是质数 | 说法为真 | 继续试，例子不能证明说法 |
| n = 10 | 没有试到 | 121 = 11 × 11，不是质数 |
| 结论 | 说法为真 | 说法为假，n = 10 是反例 |
再整齐的一小串成功例子，也证明不了“所有”的说法。
自我检测
有同学说：“对任意两个数 a 和 b，(a + b)² = a² + b²。”找一个反例。
答案
取 a = 3，b = 4。左边是 (3 + 4)² = 49。
右边是 3² + 4² = 9 + 16 = 25。49 不等于 25，说法不成立。
正确的展开是 (a + b)² = a² + b² + 2ab。这位同学漏掉了 2ab。若取 a = 0，2ab 也是 0，看不出问题，所以 0 在这里是不好的测试值。
下一步学什么
下一课是 分辨有效的论证与碰巧为真的结论。准备好之后，试试 综合练习。