未知数在次方上的方程，要么把底统一，要么两边取对数。未知数在对数里面的方程，先合并对数，再换成指数方程，最后舍去使真数为零或负数的答案。
这一课属于 SPM 附加数学：指数、根式与对数，要用到 对数定律与定义域检查。
应该选哪种方法？
方程的形式，决定了方法。
| 形式 | 方法 | 例子 |
|---|---|---|
| 两边都是同一个底的次方 | 令次方相等 | 4^x = 32 |
| 底不同，只有一个次方 | 两边取对数 | 3^(2x−1) = 20 |
| 关于 a^x 的二次式 | 代换 y = a^x | 2^(2x) − 5(2^x) + 4 = 0 |
| 底相同的对数 | 合并，再换成指数 | log₂(x+3) + log₂(x−3) = 4 |
示范：未知数在次方上
解 3^(2x−1) = 20，答案取三位小数。
两边取常用对数：(2x − 1) log 3 = log 20。
那么 2x − 1 = log 20 ÷ log 3 = 1.3010 ÷ 0.4771 = 2.7268。
所以 2x = 3.7268，x ≈ 1.863。检验：2(1.863) − 1 = 2.726，3^2.726 ≈ 20。
容易写错的捷径是 2x − 1 = 20 ÷ 3。这是把底当成可以除掉的数，但未知数在指数上，必须用对数。
示范：用定义域检查的对数方程
解 log₂(x + 3) + log₂(x − 3) = 4。
- 合并：log₂[(x + 3)(x − 3)] = 4，即 log₂(x² − 9) = 4。
- 换成指数：x² − 9 = 2⁴ = 16。
- 解方程：x² = 25，所以 x = 5 或 x = −5。
- 检查定义域。x + 3 和 x − 3 都必须是正数，所以 x > 3。
x = 5 接受，x = −5 舍去，因为 x − 3 = −8 是负数。代回检验：log₂ 8 + log₂ 2 = 3 + 1 = 4。
代换法
解 2^(2x) − 5(2^x) + 4 = 0。因为 2^(2x) = (2^x)²，设 y = 2^x。
那么 y² − 5y + 4 = 0，(y − 1)(y − 4) = 0，y = 1 或 y = 4。
换回去：2^x = 1 得 x = 0，2^x = 4 得 x = 2。两个答案都成立，因为 y = 2^x 必须是正数，而 1 和 4 都符合。
会丢分的错误
有两种常见的错误。第一种是上面说的除以底。第二种是对数方程忘了定义域，于是 x = 5 和 x = −5 都被写成答案。
一个能同时避免这两种错误的习惯：求出答案后，把它代回原方程，问自己每一个对数是否仍然有定义。
自我检查
解 log₃(x + 6) − log₃ x = 2。
答案
合并：log₃[(x + 6) ÷ x] = 2，所以 (x + 6) ÷ x = 3² = 9。
于是 x + 6 = 9x，8x = 6，x = 0.75。
定义域：x > 0 且 x + 6 > 0，所以 0.75 被接受。
检验：log₃ 6.75 − log₃ 0.75 = log₃ 9 = 2。
接下来学什么？
做 本章练习 里的混合题。如果对数和指数还是缠在一起，回去读 分数指数与指数定律。
如果希望老师陪你练习各种方程类型，请见 线上一对一附加数学补习。方程来自应用题时，应用题结构练习表 (英文) 也能帮上忙。