根式（surd）是开不尽的根，例如 √2 或 √7，答案里直接保留根号。化简根式，是把里面的完全平方数提出来；有理化，是把分母改写得不含根式。
这一课属于 SPM 附加数学：指数、根式与对数。如果还不习惯把根号写成分数次方，请先读 分数指数与指数定律。
怎样化简根式？
找出能整除根号内数字的最大完全平方数，把数字拆成“平方数 × 另一个数”，再把平方数开出来。
√72 = √(36 × 2) = √36 × √2 = 6√2。
只有根式部分相同，才能加减。先各自化简：
√50 + √8 − √18 = 5√2 + 2√2 − 3√2 = 4√2。
示范：有理化分母
把 6 ÷ √3 写成分母不含根式的形式。分子分母同时乘以 √3，因为 √3 × √3 = 3：
6 ÷ √3 = (6 × √3) ÷ (√3 × √3) = 6√3 ÷ 3 = 2√3。
分母有两项时，用共轭式。有理化 4 ÷ (3 − √5)。3 − √5 的共轭式是 3 + √5。
分母：(3 − √5)(3 + √5) = 9 − 5 = 4。
分子：4(3 + √5)。
所以 4(3 + √5) ÷ 4 = 3 + √5。
关键是平方差公式 (a − b)(a + b) = a² − b²，交叉项会互相抵消。
会丢分的错误
常见的错误，是把 (√3 + √2)² 展开成 3 + 2 = 5。少了中间项，结果看起来很整齐，却是错的。
| 步骤 | 错误 | 正确 |
|---|---|---|
| 展开 | (√3)² + (√2)² | (√3)² + 2(√3)(√2) + (√2)² |
| 化简 | 3 + 2 | 3 + 2√6 + 2 |
| 答案 | 5 | 5 + 2√6 |
按计算机检验就能发现。√3 + √2 ≈ 3.146，平方后约 9.9。5 + 2√6 ≈ 9.9，而 5 离它很远，所以正确的是 5 + 2√6。
一套可以重复使用的方法
- 先化简每一个根式，提出完全平方数。
- 把同类的根式归在一起，合并。
- 单项分母 √a，分子和分母同乘 √a。
- 两项分母，分子和分母同乘它的共轭式。
- 最后化简分子，约去公因数。
把出错的步骤记进 错题记录与试卷错误检讨，练习就能针对它。
自我检查
有理化 6 ÷ (√5 + 1)，答案写成 (a√5 − b) ÷ c 的形式。
答案
√5 + 1 的共轭式是 √5 − 1。
分母：(√5 + 1)(√5 − 1) = 5 − 1 = 4。
分子：6(√5 − 1) = 6√5 − 6。
所以分数是 (6√5 − 6) ÷ 4，化简得 (3√5 − 3) ÷ 2。
用小数检验：6 ÷ (2.236 + 1) = 1.854，(3 × 2.236 − 3) ÷ 2 = 1.854。
接下来学什么？
对数是下一个逆运算工具。继续学 用对数定律，并检查定义域，再试 本章练习。
如果希望老师陪你练习精确形式的题，请见 线上一对一附加数学补习。