对数回答的问题是：底的几次方会得到这个数？对数定律就是换了形式的指数定律，而且每一条只有在式子里所有的对数都有定义时才成立。
这一课属于 SPM 附加数学：指数、根式与对数。如果指数还不稳，请先读 分数指数与指数定律。
这些定律在说什么？
log₂ 8 = 3 这句话，和 2³ = 8 是同一个意思。下面所有的定律，从头到尾都用同一个底。
| 定律 | 例子 |
|---|---|
| log(xy) = log x + log y | log₂ 4 + log₂ 8 = log₂ 32 = 5 |
| log(x ÷ y) = log x − log y | log₃ 18 − log₃ 2 = log₃ 9 = 2 |
| log(xⁿ) = n log x | log₅ 25³ = 3 × 2 = 6 |
| log_a 1 = 0，log_a a = 1 | log₇ 1 = 0，log₇ 7 = 1 |
| log_a b = log_c b ÷ log_c a | log₄ 32 = 5 ÷ 2 |
示范：合并对数
把 log₂ 12 + log₂ 6 − log₂ 9 化简成一个数。
先加后减。对数相加，就是把数字相乘；对数相减，就是把数字相除。
log₂ 12 + log₂ 6 − log₂ 9 = log₂ (12 × 6 ÷ 9) = log₂ 8 = 3。
同样的定律也可以倒过来用。如果 log₂ 3 = p，log₂ 5 = q，那么 log₂ 45 = log₂ (9 × 5) = 2p + q，log₂ 0.6 = log₂ (3 ÷ 5) = p − q。
会丢分的错误
错误是用了 log x² = 2 log x，却没有问 x 能不能是负数。这条定律要求 x > 0，因为 log x 必须存在。
取 x = −3。左边是 log₂ 9，有定义，等于 2 log₂ 3。右边 2 log₂ (−3) 没有定义。
| 步骤 | 错误 | 正确 |
|---|---|---|
| 改写 log₂ x² | 一律写成 2 log₂ x | 只有 x > 0 才能写成 2 log₂ x |
| 取 x = −3 | 接受 | log₂ x 没有定义，不能用这条定律 |
| 安全的写法 | （没有） | 2 log₂ |x| |
在方程里，这一点更重要。先解方程，再用定义域检验每个答案：对数里面的每个数都必须是正数。
换底
换底让你把对数改写成适合题目的底。求 log₄ 32。
把 4 和 32 都写成 2 的次方。那么 log₄ 32 = log₂ 32 ÷ log₂ 4 = 5 ÷ 2 = 2.5。
检验：4^2.5 = (2²)^2.5 = 2⁵ = 32。
自我检查
已知 log₃ 2 = m，用 m 表示 log₃ 18 和 log₃ (2 ÷ 27)。
答案
18 = 2 × 9，所以 log₃ 18 = log₃ 2 + log₃ 9 = m + 2。
log₃ (2 ÷ 27) = log₃ 2 − log₃ 27 = m − 3。
用 m ≈ 0.631 做数值检验：log₃ 18 ≈ 2.631，3^2.631 ≈ 18。
接下来学什么？
在 解指数方程与对数方程 里，把这些定律用到方程上。在这之前，应用题结构练习表 (英文) 可以帮你整理多步骤的题目。
用 本章练习 测试整章。如果希望和老师一起做对数题，请见 线上一对一附加数学补习。