这七道题涵盖线性定律整章，难度逐渐上升。每题先在纸上写出完整过程，再打开答案。
题目
第 1 题。 把 y = 5x² + 2 化成 Y = mX + c 的形式，写出 Y、X、m 和 c。
答案
关系式已经具有 y = a(x²) + b 的形状，所以 Y = y，X = x²，m = 5，c = 2。x = 3 时，X = 9，Y = 5(9) + 2 = 47。
第 2 题。 关系式是 y = px³ + qx。y/x 对 x² 的图是一条直线，经过 (1, 4) 和 (4, 19)。求 p 和 q。
答案
除以 x：y/x = px² + q。所以 Y = y/x，X = x²，m = p，c = q。
梯度：(19 − 4) ÷ (4 − 1) = 5，所以 p = 5。代入 (1, 4)：4 = 5 + c，所以 c = −1，即 q = −1。
检验：y = 5x³ − x，x = 2 时 y = 38，y/x = 19，与 X = 4 吻合。
第 3 题。 关系式是 y = a·b^x。lg y 对 x 的图是一条直线，经过 (0, 1.0) 和 (3, 1.6)。求 a 和 b。
答案
线性形式是 lg y = (lg b)x + lg a。截距是 1.0，所以 a = 10^1.0 = 10。
梯度：(1.6 − 1.0) ÷ 3 = 0.2，所以 lg b = 0.2，b = 10^0.2 = 1.58（三位有效数字）。
第 4 题。 关系式是 y = p/x + qx。把它化成线性形式，再求 p 和 q，已知直线经过 (1, 7) 和 (9, 31)。
答案
乘以 x：xy = p + qx²。所以 Y = xy，X = x²，m = q，c = p。
梯度：(31 − 7) ÷ (9 − 1) = 3，所以 q = 3。代入 (1, 7)：7 = 3 + c，所以 p = 4。
检验：y = 4/x + 3x。x = 3 时 y = 4/3 + 9，所以 xy = 4 + 27 = 31，与 X = 9 吻合。
第 5 题。 y 对 x² 的图经过 (4, 10) 和 (16, 34)。求关系式，再求 x = 5 时的 y，以及 y = 74 时的 x。
答案
梯度：(34 − 10) ÷ (16 − 4) = 2。代入 (4, 10)：10 = 8 + c，所以 c = 2。关系式是 y = 2x² + 2。
x = 5 时：y = 2(25) + 2 = 52。
y = 74 时：2x² = 72，所以 x² = 36，x = 6（若 x 是长度，取正值）。
第 6 题。 一位同学说：「lg y 对 x 的图梯度是 0.5，所以在 y = ab^x 中，b = 0.5。」请指出错误并给出正确的 b。
答案
lg y 对 x 的梯度等于 lg b，不是 b。所以 lg b = 0.5，b = 10^0.5 = 3.16（三位有效数字）。
检验：如果 b = 0.5，x 增大时 y 会减小。但 lg y 的梯度是正数，说明 y 在增大，所以 b 必须大于 1。
第 7 题。 lg y 对 lg x 的图是一条直线，经过 (0, 0.40) 和 (0.6, 1.60)。关系式是 y = k·x^n。求 k 和 n，再求 x = 10 时的 y。
答案
梯度：(1.60 − 0.40) ÷ 0.6 = 2，所以 n = 2。
截距 0.40 给出 lg k = 0.40，所以 k = 10^0.40 = 2.51（三位有效数字）。关系式是 y = 2.51x²。
x = 10 时：y = 2.51 × 100 = 251。
做错了怎么办？
- 第 1、2、4 题考的是改写。请看把非线性关系化成线性形式。
- 第 2、3、5、7 题需要梯度和截距。请看由梯度和截距求常数。
- 第 6 题考的是换算回去。请看用原变量解读线性化模型。