附加数学 · 线性定律

把非线性关系化成线性形式

你看到 x² 就想直接拿来当 X，结果多出一项。

线性定律就是把弯曲的关系式改写成 Y = mX + c 的形式。一旦改写成功，Y 对 X 的图就是一条直线，梯度和截距里藏着未知的常数。

本课是 SPM 附加数学线性定律的第一课。下一课为直线图选择坐标轴会把改写的结果变成可以画的点。

改写后的式子应该是什么样？

左边是一个可以由数据算出来的式子（这是 Y），右边有一个乘上常数 m 的式子（这是 X），最后加上常数 c。x 和 y 可以出现在 Y 或 X 里面，但未知常数 a、b 不可以。

你可以把它当作三项检查：

SPM 的题目只用到一小批关系式。最后两行需要用到以 10 为底的对数，记作 lg。

已知 y = hx² + kx，其中 h 和 k 是常数，把它化成线性形式。

式子里没有单独的常数项，所以还不是正确的形状。把每一项都除以 x：

y/x = hx + k

现在 Y = y/x，X = x，梯度是 h，截距是 k。y/x 对 x 的图是一条直线。

很多同学看到 x² 就写 Y = y，X = x²，就像表里的第一行。这样 kx 那一项就多出来了，式子不能读成 Y = mX + c。

补救的办法是问自己：选好 X 之后还剩下什么？如果除了 m·X 之外，还剩带 x 的项，就改用除法或乘法，直到只剩一个常数。

某菌落的数量模型为 y = p·q^x，其中 p 和 q 是常数。常数在底数和乘数里，所以两边取 lg：

lg y = lg(p·q^x) = lg p + x lg q

重新排列：lg y = (lg q)x + lg p。所以 Y = lg y，X = x，m = lg q，c = lg p。请注意 m 是 lg q，不是 q，这在后面求常数时很重要。

把 y = k·x^n 化成 Y = mX + c 的形式，其中 k 和 n 是常数。写出 Y、X、m 和 c。

答案

两边取 lg：lg y = lg k + n lg x。

重新排列：lg y = n(lg x) + lg k。

所以 Y = lg y，X = lg x，m = n，c = lg k。梯度就是次数 n 本身，截距是 lg k，不是 k。

请继续为直线图选择坐标轴，练习从数据表里挑出 Y 和 X。你也可以在线性定律坐标轴探索器 (英文)里试自己的关系式。

如果遇到陌生的式子总是卡住，请了解一对一附加数学补习。

不一定。Y 和 X 可以是含有 x、y 的式子，例如 Y = y/x，X = x²。关键是它们只能由变量构成，未知常数 a、b 不能放进 Y 或 X 里。

检查三件事：左边是否只含变量，X 的式子前面是否恰好有一个常数倍，剩下的一项是否是不含变量的常数。三项都成立，才是 Y = mX + c。

当未知数出现在指数，或者关系式是乘积形式，例如 y = ab^x 和 y = ax^n 时，两边取 lg 把乘法变成加法，就能得到直线形式。

是 lg b。例如 lg y = (lg b)x + lg a，梯度是 lg b，截距是 lg a。求出梯度后，还要再做一步，才得到 b 本身。

遇到陌生的关系式就不知道怎样改写？一对一补习的老师可以换不同的式子陪学生练，把三项检查变成习惯。